Demuestra que $\Gamma$ , $\Lambda$ y el functor de gavilla asociado son todos exactos a la izquierda.

Question

Esto es Ejercicio II.6 de Mac Lane y Moerdijk, "Sheaves in Geometry and Logic [. . .]" . Según las primeras páginas de esta búsqueda de Approach0 Es nuevo para el MSE.

Los detalles:

Los funtores $\Lambda$ y $\Gamma$ se analizan a continuación:

• ¿Qué es lo que hace Mac Lane & Moerdijk $\Lambda$ de $\S II.5$ ?

• . . y qué pasa con $\Gamma$ en $\S II.5$ de Mac Lane y Moerdijk?

Ambas son mis preguntas.

Definición: Un functor es izquierda exacta si preserva todos los límites finitos.

En Mac Lane's "Categorías para el matemático que trabaja",. p. 201, tenemos lo siguiente.

[Un functor] $T$ es izquierda exacta si y sólo si es adictivo y $\ker (Tf)=T(\ker f)$ para todos $f$ La última condición equivale a la exigencia de que $T$ preserva las secuencias exactas cortas de la izquierda.

Aquí aditivo significa que $T: A\to B$ es tal que $A, B$ son ${\rm Ab}$ -categorías y

$$T(f+f')=T(f)+T(f')$$

para cualquier par paralelo $f, f': b\to c$ en $A$ , donde un ${\rm Ab}$ -categoría $C$ es una categoría tal que cada hom-set $C(p,q)$ es un grupo abeliano aditivo y cuya composición es bilineal: Para las flechas $p, p':x\to y$ y $q,q': y\to z$ ,

$$\begin{align} (q+q')\circ(p+p')&=(q\circ p)+(q\circ p') \\ &+(q'\circ p)+(q'\circ p'). \end{align}$$

La pregunta:

Demostrar que los funtores $\Gamma$ y $\Lambda$ y, por tanto, el functor de gavilla asociado

$$\Gamma\Lambda: \mathbf{Sets}^{\mathcal{O}(X)^{{\rm op}}}\to {\rm Sh}(X)$$

son cada uno de ellos exacto.

Pensamientos y Contexto:

La noción de límite soy familiarizado con es en términos de conos y propiedades universales con respecto a una categoría de diagramas, como en la p. 21 de Mac Lane y Moerdijk. La razón por la que pongo esto en esta sección de la pregunta (en lugar de Los detalles arriba) es porque hace tiempo que no trabajo con límites, así que encaja mejor en el contexto de la pregunta.

Puedo (más o menos) ver por qué, si $\Gamma$ y $\Lambda$ cada uno conserva los límites, entonces también lo haría $\Gamma\Lambda$ .

Este es el tipo de pregunta que creo que podría responder yo mismo si tuviera más tiempo.

Creo que una línea de ataque sería utilizar Propuesta 3.2 de la Página de n-lab sobre funtores exactos :

Un functor entre categorías con límites finitos preserva los límites finitos si y sólo si:

• conserva objetos terminales, productos binarios y ecualizadores o

• preserva los objetos terminales y los pullbacks binarios.

Por favor, ayuda :)

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Edición: No creo que pueda responder a esto sin ayuda.

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Creo que tengo que encontrar el objeto terminal (productos binarios, ecualizadores, resp.) de los dominios de cada uno de $\Gamma$ , $\Lambda$ y el functor de gavilla asociado, entonces se demuestra que cada uno de ellos los mapea a aquel (objeto terminal, productos binarios, igualadores, resp.) de sus codominios.

Answer 1

Recuerdo:

$\Lambda : \newcommand\O{\mathcal{O}}\newcommand\Set{\mathbf{set}}\newcommand\op{\mathrm{op}} [\O(X)^\op,\Set] \to \newcommand\Etale{\mathbf{Etale}}\Etale(X)$ envía un presheaf a su haz de gérmenes etale asociado.

$\Gamma : \newcommand\Bund{\mathbf{Bund}} \Bund(X) := \newcommand\Top{\mathbf{Top}}\Top/X \to \newcommand\Sh{\mathbf{Sh}}\Sh(X)$ envía un $X$ -a su gavilla de secciones.

Demostraremos que ambos conservan los pullbacks (binarios) y los objetos terminales. Voy a utilizar $=$ cuando a veces me refiero a un isomorfismo natural para simplificar la anotación.

Objetos terminales:

El presheaf terminal es $*$ , donde $*(U) = \{*\}$ para todos $U$ . Cada tallo en cualquier punto $x$ tiene un germen único, $*_x$ Así que $\Lambda(*)$ tiene un conjunto subyacente isomorfo a $X$ y los conjuntos abiertos son los conjuntos de la forma $\{(x,*_x) : x\in U\}$ con $U$ abrir en $X$ . Así, $\Lambda(*)$ es el haz trivial $\mathrm{id}_X : X\to X$ que es el objeto terminal en $\Bund(X)$ y, por tanto, también $\Etale(X)$ .

Existe una sección única del haz trivial para cualquier conjunto abierto $U$ , es decir, la inclusión $U\hookrightarrow X$ Así que $\Gamma(\newcommand\id{\operatorname{id}}\id_X) = *$ , donde $*$ es el presheaf terminal, pero ahora considerado como un sheaf.

Pullbacks

Dejemos que $F,G,T$ sean preseaves, con morfismos $f:F\to T \leftarrow G : g$ y que $F\times_T G$ sea el retroceso. Como los límites conmutan con los colímites filtrados, para cada $x\in X$ tenemos $(F\times_T G)_x = F_x\times_{T_x} G_x$ para que los conjuntos sobre $X$ , $\Lambda(F\times_T G)$ y $\Lambda(F)\times_{\Lambda(T)}\Lambda(G)$ estar de acuerdo. Sólo tenemos que comprobar que sus topologías también son iguales. Sin embargo, los conjuntos abiertos en $\Lambda(F\times_T G)$ son generados por las secciones $s\in (F\times_T G(U))$ para todos $U$ y estos son los mismos que los elementos $(x,y)$ con $fx=gy$ de $F(U)\times_{T(U)} G(U)$ ya que los límites en los presheaves se calculan puntualmente. Y estos (se puede comprobar) generan los conjuntos abiertos en $\Lambda(F)\times_{\Lambda(T)}\Lambda(G)$ . Por lo tanto, las topologías son las mismas.

Ahora el retroceso en $\Top/X$ es el retroceso ordinario en $\Top$ . Sea $F : A\to X$ , $G:B\to X$ y $T:C\to X$ sean paquetes, y $f:F\to T$ y $g:G\to T$ sean mapas de haces. Una sección $\Gamma(F\times_T G)(U)$ es un mapa de paquetes $\sigma :U \to F\times_T G$ , donde $U:U\hookrightarrow X$ es el haz que representa la inclusión del conjunto abierto $U$ . Así que $$\begin{align} \Gamma(F\times_T G)(U) &= \Top/X(U,F\times_T G)\\ & =\Top/X(U,F)\times_{\Top/X(U,T)}\Top/X(U,G) \\ &=\left(\Gamma(F)\times_{\Gamma(T)}\Gamma(G)\right)(U), \end{align}$$ ya que los límites en las láminas se siguen calculando puntualmente. Así, $\Gamma(F\times_T G) \cong \Gamma(F)\times_{\Gamma(T)} \Gamma(G)$ .

Nota final

Deberías tener un poco de cuidado y comprobar que los morfismos que definen los conos límite se mapean correctamente bajo los funtores, pero eso lo dejaré para que lo compruebes.