Tengo una ecuación como la siguiente: $$[\gamma(\beta+y)+1]\exp(-(\beta+y)\gamma)>\{1-[\gamma(\beta+y)+1]\exp(-(\beta+y)\gamma)\}\alpha$$ donde todos los parámetros son positivos. $$$$How can I a closed form for this equation( so as y> or < parameters of equation). I want to extract $ y$ de la desigualdad. Gracias de antemano.
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Chris Ballance
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No veo cómo obtener una solución de forma cerrada, pero su desigualdad está claramente relacionada con la Función Lambert W . Sea $w=-\gamma(\beta+y)-1$ . Entonces \begin{align} [\gamma(\beta+y)+1]e^{-(\beta+y)\gamma} &>\{1-[\gamma(\beta+y)+1]e^{-(\beta+y)\gamma}\}\alpha,\\ -we^{1+w} &> \alpha[1+we^{1+w}],\\ -(\alpha+1)we^{1+w} &> \alpha,\\ we^w &< \frac{-\alpha/e}{\alpha+1}. \end{align} Por lo tanto, utilizando las anotaciones de la página de Wikipedia, debemos tener $W_{-1}\left(\frac{-\alpha/e}{\alpha+1}\right) < w < W_0\left(\frac{-\alpha/e}{\alpha+1}\right)$ (donde $W_{-1}$ y $W_0$ son, respectivamente, la rama inferior y superior de la doblemente valorada Lambert $W$ función). Para evaluar $W_{-1}\left(\frac{-\alpha/e}{\alpha+1}\right)$ y $W_0\left(\frac{-\alpha/e}{\alpha+1}\right)$ numéricamente, véase la sección " Evaluación numérica " y " Software " de la página wiki.
