Obtención de los pesos de las representaciones del producto tensorial del álgebra de Lie

Question

Al estudiar las representaciones de las álgebras de Lie simples, el procedimiento es bastante sencillo.

1. Encontrar la subálgebra de Cartan
2. Etiquetar los estados con los correspondientes valores propios
3. Utilice los generadores restantes para construir bloques SU(2) y utilícelos como operadores de subida/bajada.

Esto lleva a la noción de raíces y, en general, es sencillo encontrar la estructura o descomposición de raíces correspondiente para los grupos clásicos.

Teniendo toda esta información (sistema de raíces, matriz de Cartan, etc.) uno puede, en principio, utilizarla para construir nuevas representaciones del álgebra. Mi pregunta es la siguiente, dada toda la información relativa a las raíces de un álgebra de Lie clásica cómo puedo construir los pesos de representación con propiedades de simetría fijas. Por ejemplo digamos que estás en SP(N) y conoces todo el sistema de raíces y la matriz de Cartan, ¿cómo construyes los pesos correspondientes a la representación antisimétrica? ¿Existe una forma sistemática de hacerlo?

Se agradecerá cualquier bibliografía.

Answer 1

En realidad es muy sencillo. Veamos un ejemplo sencillo. Supongamos que $V$ es un $3$ -de su álgebra de Lie, y supongamos que $V$ tiene la base $$v_1, v_2, v_3, $$ donde $v_1$ , $v_2$ , $v_3$ se encuentran en un espacio de pesos, y los pesos correspondientes son $w_1$ , $w_2$ , $w_3$ respectivamente. (Así que para cualquier $H$ en la subálgebra de Cartan, tenemos $H(v_i) = w_i(H) v_i$ para $i \in \{ 1, 2, 3 \}$ .)

Entonces el producto tensorial simétrico $Sym^2 (V)$ es una representación de seis dimensiones, con base $$ v_1 \otimes v_1, v_2 \otimes v_2, v_3 \otimes v_3, \tfrac 1 2 (v_1 \otimes v_2 + v_2 \otimes v_1), \tfrac 1 2 (v_2 \otimes v_3 + v_3 \otimes v_2) , \tfrac 1 2 (v_3 \otimes v_1 + v_1 \otimes v_3) $$ Cada uno de estos vectores base se encuentra en un espacio de pesos, y los pesos correspondientes son $2w_1, 2w_2, 2w_3, w_1 + w_2, w_2 + w_3, w_3 + w_1$ respectivamente.

[En la práctica, es posible que algunos de los pesos coincidan. Si esto ocurre, significa que tienes espacios de pesos degenerados (es decir, un espacio de pesos correspondiente a un peso dado tiene dimensión mayor que uno) - ¡no es un problema!]

Volviendo a nuestro ejemplo, el producto tensorial antisimétrico $\wedge^2 (V)$ es una representación tridimensional, con base $$ \tfrac 1 2 (v_1 \otimes v_2 - v_2 \otimes v_1), \tfrac 1 2 (v_2 \otimes v_3 - v_3 \otimes v_2) , \tfrac 1 2 (v_3 \otimes v_1 - v_1 \otimes v_3) $$ y estos vectores base se encuentran cada uno en un espacio de pesos, y los pesos correspondientes son $w_1 + w_2, w_2 + w_3, w_3 + w_1$ respectivamente.

Este método se generaliza a todos los ejemplos que se puedan encontrar, y es el método más sistemático que se puede esperar.