Me he dado cuenta de algo curioso. Si se diferencia $x^x$ tratando el exponente como una constante, se obtiene $xx^{x-1}=x^x$ . Si se trata la base como una constante, se obtiene $x^x \ln{x}$ . Si se suman estas dos derivadas extrañas e incorrectas de $x^x$ , se obtiene $x^x(1+\ln{x})$ que es correcto ¡!
¿Es una mera coincidencia extraña y divertida o forma parte de un resultado más profundo?
(Lo estoy comprobando para $(x^x)^x$ pero tardará un poco :) )
Se trata de un fenómeno general. En este caso $$x^x=f(x,x)$$ donde $$f(u,v)=u^v.$$ Por la regla de la cadena, $$\frac{d}{dx}(x^x)=\frac d{dx}f(x,x)=f_1(x,x)+f_2(x,x)$$ donde $f_1$ y $f_2$ son las derivadas parciales de $f$ . En este caso $$f_1(u,v)=v u^{v-1}$$ (considerando $v$ como constante) y $$f_2(u,v)=(\ln u) u^v$$ (considerando $u$ como constante). Así que $f_1(x,x)=x^x$ y $f_2(x,x)=(\ln x)x^x$ .
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