Demuestre que f es uniformemente continua en $(a,b)$ si es continua y $\lim\limits_{x\to a^+}f(x)$ y $\lim\limits_{x\to b^-}f(x)$ existe

Question

Dejemos que $f:(a,b)\to\mathbb{R}$ ser continua en todo $x\in(a,b)$ . Si $\lim\limits_{x\to b^-}f(x)$ y $\lim\limits_{x\to a^+}f(x)$ existen en $\mathbb R$ ¿Cómo podemos demostrar que $f$ es uniformemente continua en $(a,b)$ ?

Este es mi intento, pero no estoy seguro de que sea correcto:

Dejemos que $\epsilon>0$ . Está claro que $[a+\epsilon,b-\epsilon]\subseteq(a,b)$ . Se sabe que $f(x)$ es continua en $(a,b)$ por lo que es uniformemente continua en el intervalo acotado $[a+\epsilon,b-\epsilon]$ . Pero, $[a+\epsilon,b-\epsilon] \iff (a,b)$ . Así, $f$ es uniformemente continua en $(a,b)$ .

¿Es correcta mi prueba? ¿Hay alguna forma mejor?

Answer 1

Su prueba es incorrecta, porque $f$ siendo uniformemente continua en todos los subintervalos cerrados de $(a,b)$ no implica que sea así en $(a,b)$ sí mismo.

Esta es una forma de hacerlo. Ampliar la función $f$ a la función $g:[a,b]\to\mathbb R$ con $g(a)=\lim_{x\to a^+} f(x)$ y $g(b)=\lim_{x\to b^-}f(x)$ . Entonces $g$ es continua en $[a,b]$ . De ello se desprende que $g$ es uniformemente continua en $[a,b]$ para que $f$ es uniformemente continua en $(a,b)$ .