Cuerpo polar de un cuerpo convexo que evita un entramado

Question

Dejemos que $K \subset {\bf R}^d$ sea un cuerpo convexo simétrico (una vecindad convexa abierta y acotada del origen con $K = -K$ ) con la propiedad de que $K + {\bf Z}^d \neq {\bf R}^d$ es decir, la proyección de $K$ al toro estándar ${\bf R}^d/{\bf Z}^d$ no es suryectiva, o, de forma equivalente $K$ es disjunta de algún coset $x + {\bf Z}^d$ de la red estándar. Mi pregunta es: ¿qué dice esto sobre el cuerpo polar

$$K^* := \{ \xi \in {\bf R}^d: \xi \cdot x < 1 \hbox{ for all } x \in K \}?$$

Intuitivamente, la propiedad $K + {\bf Z}^d \neq {\bf R}^d$ es una condición de "pequeñez" en K, y por lo tanto es una condición de "grandeza" en $K^*$ .

Si $K^*$ contiene un elemento no trivial $n$ de $2 {\bf Z}^d$ entonces $K$ está contenida en la franja $\{ x: |n \cdot x| < 1/2 \}$ y así se evitará el coset $x+{\bf Z}^d$ siempre que $x \cdot n = 1/2$ . Así que esta es una condición suficiente para $K + {\bf Z}^d \neq {\bf R}^d$ pero no es necesario. De hecho, si uno toma $K$ para ser el octaedro

$$K := \{ (x_1,\ldots,x_d) \in {\bf R}^d: |x_1|+\ldots+|x_d| < d/2 \}$$

entonces $K$ evita $(1/2,\ldots,1/2)+{\bf Z}^d$ pero el doble cuerpo

$$K^* = \{ (\xi_1,\ldots,\xi_d) \in {\bf R}^d: |\xi_1|,\ldots,|\xi_d| < 2/d \}$$

está bastante lejos de alcanzar un elemento no trivial de $2 {\bf Z}^d$ .

Por otro lado, utilizando la teoría de las bases de Mahler o el análisis de Fourier se puede demostrar que si $K + {\bf Z}^d \neq {\bf R}^d$ entonces $K^*$ debe contener un elemento no trivial de $\varepsilon_d {\bf Z}^d$ para algunos $\varepsilon_d > 0$ dependiendo sólo de $d$ . Sin embargo los límites que puedo obtener aquí son exponencialmente pobres en $d$ .

Basándonos en el ejemplo del octaedro (que intuitivamente parece ser el conjunto convexo "más grande" que sigue evitando un coset de ${\bf Z}^d$ ), se podría conjeturar tentativamente que si $K + {\bf Z}^d \neq {\bf R}^d$ entonces el cierre de $K^*$ contiene un elemento no trivial de $\frac{2}{d} {\bf Z}^d$ . No sé cómo probar o refutar esta conjetura (aunque creo que el $d=2$ caso podría ser resuelto por ad hoc métodos, y el $d=1$ caso es trivial), así que lo planteo aquí como una pregunta.

Answer 1

Si entiendo bien la pregunta, creo que el límite más conocido sigue siendo el de Wojciech Banaszczyk: "Inequalities for Convex Bodies and Polar Reciprocal Lattices in $R^n$ II: Aplicación de $K$ -Convexidad". Discrete & Computational Geometry 16(3): 305-311 (1996) https://dx.doi.org/10.1007/BF02711514

El límite es $1/\epsilon_d = O(d\cdot \log(d))$ . Todavía no es la respuesta óptima que buscabas, pero está a un factor logarítmico del óptimo.

Answer 2

He aquí un esbozo de un argumento que debería dar lugar a la estimación $1/\varepsilon_d = O(d^{3/2})$ . Esta no es su conjetura completa, pero se acerca a ella. No he comprobado todos los detalles de la segunda parte más delicada del argumento, pero debería funcionar.

En primer lugar, permítanme replantear la pregunta con sólo una sobrecarga polinómica. El contrapositivo de tu afirmación es que si el entramado de enteros es un empaquetado de $K^*$ entonces es un recubrimiento reticular de $\varepsilon_d K$ (hasta un factor de 2). Puede sustituir $K^*$ por el mayor elipsoide inscrito $E$ y entonces el teorema de John dice que $\sqrt{d} \cdot K \supseteq E^*$ . Entonces, tras una transformación lineal, podemos decir que $E = E^*$ es la bola unitaria redonda $B = B_1(0)$ es decir, el $\ell^2$ bola de la unidad. La hipótesis contrapuesta es que la red $\Lambda$ es un empaquetamiento reticular de $B$ es decir, un embalaje de esfera unitaria. Se quiere acotar el radio de cobertura de la esfera de $\Lambda^*$ .

Tomando una transformada de Fourier en $L^2(\mathbb{R}^d)$ Lo que sabes es que $\Lambda^*$ es un "diseño 1" en el sentido de Delsarte. (Esto es con una transformada de Fourier escalada para que ninguna de las longitudes geométricas tenga factores de $\pi$ .) Si $f$ es una función suficientemente regular cuya transformada de Fourier se apoya en la bola unitaria en $\mathbb{R}^d$ entonces la integral de $f$ en $\mathbb{R}^d$ es igual a su suma en $\Lambda^*$ . Tengo un documento sobre $t$ -diseños Cubatura numérica a partir del teorema de la caja de sombreros de Arquímedes (SIAM J. Numer. Anal. 44 (2006), 908-935, JSTOR ) que sugiere un método que podría darle un radio de cobertura, aunque en mi trabajo era el caso analíticamente más fácil de un dominio compacto. La idea es encontrar un $f(x) = f(||x||_2)$ cuya integral es positiva, pero que no es positiva para $||x||_2 > c$ y cuya transformada de Fourier satisface la condición de soporte. Entonces $\Lambda^*$ debe tener un punto de entramado en la bola $B_c(0)$ y, de hecho, en $B_c(p)$ para cualquier $p$ . Yo lo llamo el método de la "isla positiva".

En una etapa de la argumentación de mi trabajo, hice una función de isla positiva en la variedad $\mathbb{C}P^d$ de la forma $P(z)/(a-z)$ , donde $P$ es un polinomio de Jacobi (con los índices suprimidos) y $a$ es su último cero. Esto fue para $t$ -diseños en $\mathbb{C}P^n$ (y posteriormente el simplex, utilizando el mapa de momentos). Existe una fórmula similar para la esférica ordinaria $t$ -diseños en $S^d$ . Para que esta expresión sea relevante para tu pregunta, puedes tomar el límite como el grado $t \to \infty$ y la isla positiva se reduce a un punto. En este límite, la geometría del colector pasa a ser aproximadamente euclidiana y así se aproxima a su pregunta. La función isla $P(z)/(a-z)$ límites de la función $$f(x) = \frac{J(||x||_2)^2}{c^2-||x||^2_2}$$ en $\mathbb{R}^d$ , donde $J(r)$ es una función de Bessel hiperesférica y $c$ es su primer cero.

Así que, por razones indirecta, lo que debería ocurrir es que la integral de esta $f(x)$ desaparece y su transformada de Fourier tiene la propiedad de soporte correcto. Si se perturba $f$ ligeramente, puedes hacer que su integral sea positiva. Me imagino que hay un argumento directo para las propiedades de este $f$ pero no he trabajado en ello. Sin embargo, comprobé algunos casos numéricamente con Maple y parece que funciona. Por ejemplo, la integral sobre $\mathbb{R}^3$ de $$f(x) = \frac{(\sin x)^2}{x^2(\pi^2-x^2)}$$ desaparece.

Ahora, el primer cero de la primera función de Bessel hiperesférica en $\mathbb{R}^d$ es el mismo que el primer cero $j_{(d-2)/2,1}$ de una función de Bessel ordinaria. Creo que este número es $O(d)$ . De este modo, se obtendría la estimación $1/\varepsilon_d = O(d^{3/2})$ ya que también se obtiene un factor de $O(d^{1/2})$ del teorema de John.

Answer 3

Esto no es realmente una respuesta, sino un comentario sobre una variación natural del problema original: suponer un cuerpo convexo en $\mathbb{R}^n$ que no es necesariamente simétrico en el centro, contiene sólo un punto de la red como punto interior. ¿Qué se puede decir del dual de $K$ definido con respecto al único punto de la red en su interior?

En general, se puede decir que el volumen del cuerpo dual no puede ser demasiado pequeño. En este documento Balacheff, Tzanev y yo conjeturamos que el volumen del dual no puede ser menor que $(n+1)/n!$ . Podemos demostrar esto en la dimensión dos bajo la siguiente guisa equivalente:

Teorema. El área de un cuerpo convexo en el plano que interseca cada línea entera $mx + ny = 1$ es al menos $3/2$ . Además, la igualdad sólo se mantiene para el triángulo con vértices $(1, 0)$ , $(0, 1)$ , $(−1,−1)$ y sus imágenes bajo transformaciones unimodulares (enteras).

En dimensiones más altas, nos basamos (¡en gran medida!) en el límite inferior de Greg Kuperberg para el producto de volumen para demostrar.

Teorema. El volumen de un cuerpo convexo en $\mathbb{R}^n$ que cruza cada hiperplano entero $m_1x_1 + · · · + m_nx_n = 1$ es al menos $(\pi/8)^n(n + 1)/n!$ .

Pero la parte divertida del artículo es que también muestra que estas desigualdades son (en el caso del primer teorema) o deberían extenderse a desigualdades sobre las métricas de Finsler o incluso sobre las variedades de contacto.