Ecuaciones de movimiento con ecuaciones de Euler-Lagrange

Question

Intento de determinar las ecuaciones de movimiento del sistema definido por el lagrangiano:

$$L=\frac{1}{2}m(\overset{.}{x}^2+\overset{.}{y}^2)+\frac{1}{2}I\overset{.}{\theta}^2.$$

He comprobado que el sistema funciona con la siguiente restricción: $$\omega=\sin \theta dx-\cos\theta dy .$$

Para ello creo que puedo utilizar las ecuaciones de Euler-Lagrange para resolver:

$$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \overset{.}{z}} - \frac{\partial L}{\partial z}=\lambda\omega$$

donde $z=(x,y,\theta)$ .

Pero no entiendo cómo resolverlos. También me pregunto si puedo transformar esta relación de la siguiente manera

$$\frac{d}{dt}\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \overset{.}{z}} - \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial z}=\lambda\omega$$

con $\mathscr{L}=L-\lambda\omega$ .

¿Puede alguien darme algunas pistas?

Que tenga un buen día.

Answer 1

1. La restricción diferencial de OP es una restricción semi-holonómica que puede escribirse de forma equivalente como $$f~\equiv~\dot{x}\sin \theta -\dot{y} \cos\theta~=~0.\tag{1}$$

2. Las ecuaciones de Lagrange se convierten en $$ \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}^j}-\frac{\partial L}{\partial q^j}~=~ \lambda \frac{\partial f}{\partial \dot{q}^j} ,\tag{2} $$ Véase, por ejemplo este Puesto de Phys.SE. La ecuación (2) es equivalente a la última ecuación de la respuesta de Ivo Terek (v1).

3. Advertencia: Tenga en cuenta que la acción $S[q,\lambda]=\int\! dt ( L-\lambda f)$ conduce a un error en los MOE, diferente de la ecuación correcta (2).

4. También hay que tener en cuenta que las distintas MOE de OP (v3) son inconsistentes ya que sus LHS son formas 0, mientras que sus RHS son formas 1.