Valor esperado de $g(X)$ .

Question

Si $\mathrm{E}(X) = \sum_{x\in I} x\,\mathrm{P}(X=x)$ ¿Cómo puedo deducir que $E(g(X)) = \sum_{x\in ?} g(x)\,\mathrm{P}(X=x)$ ? No veo por qué no lo es $E(g(X)) = \sum_{g(x)\in ?} g(x)\,\mathrm{P}(X=g(x))$ en su lugar.

¿Son simplemente definiciones, o hay alguna lógica detrás de esta notación?

Answer 1

Siguiendo su línea de razonamiento, tendríamos que en realidad tienen $$ E\left[g(X)\right]=\sum_{x}g(x)P(g(X)=g(x)). $$ Supongamos que $g$ es inyectiva. Entonces, $g(X)=g(x)$ si y sólo si $X=x$ , y lo anterior se convierte en $$ E\left[g(X)\right]=\sum_{x}g(x)P(X=x). $$ Se puede hacer un argumento similar en el caso de que $g$ no es inyectiva.

Answer 2

En general, partimos de las expectativas de sumas de variables aleatorias indicadoras, que se definen como:

$\Sigma_x x P(\{\omega: X(\omega)=x\})$

como usted ha señalado correctamente.

Entonces, para una variable aleatoria tan simple, si tomamos $g(X)$ tenemos:

$P(\{\omega: g(X)(\omega)=y\}=P(\bigcup_{x:g(x)=y} \{\omega: X(\omega)=x\})=\sum_{x:g(x)=y} P(\{\omega: X(\omega)=x\}$

Por lo tanto,

$E[g(X)]=\Sigma_y y P(\{\omega: g(X)(\omega)=y\} =\Sigma_y y(\sum_{x:g(x)=y} P(\{\omega: X(\omega)=x\})$

y luego mediante la factorización de los términos:

$=\Sigma_x g(x) P(\{\omega: X(\omega)=x\})$ .

Espero que eso ayude.

Answer 3

He creado una pequeña ilustración con la expectativa (no es un juego de palabras) de que pueda ayudar a algunos alumnos.

HTH