Es el cociente $R/(a,b)$ igual al primer cociente $R$ con $(a)$ y luego con $(b)$

Question

Es el cociente $R/(a,b)$ igual al primer cociente con $(a)$ y luego con $(b)$ ?

Llevo tiempo pensando en esto. Y creo que lo siguiente es cierto:

$$\frac{R}{(a,b)}=\frac{R/(a)}{(a,b)/(a)}\overset{(1)}{=}\frac{R/(a)}{(b)/(a)}=\frac{R/(a)}{bR/aR}\overset{(2)}{=}\frac{R/(a)}{b (R/aR)}=\frac{R/(a)}{[b]}$$

donde defino $[b]$ como el ideal generado por $b$ en el ring $R/aR$ . Así que esto parece cierto. Para (1), yo ya hizo una pregunta. Y para (2) creo que es verdad, pero aún no puedo probarlo. ¿Cómo puedo probar que $b(R/aR)=bR/aR$ ?

Answer 1

Lo que tienes es que $(R/(a))/(\overline{b}) \cong R/(a,b)$ , donde $\overline{b}$ denota la reducción de $b$ mod $(a)$ es decir $\overline{b} = b + (a)$ como elemento de $R/(a)$ . El isomorfismo se induce a partir del mapa natural $R / (a) \rightarrow R / (a,b)$ que envía $x + (a)$ a $x + (a,b)$ . Hay que comprobar que se trata de un homomorfismo bien definido, que es suryente y que el núcleo es igual a $(\overline{b})$ . A continuación, aplique el Teorema Fundamental de los Homomorfismos de Anillos para obtener la conclusión indicada en la primera frase.