Dejar $f : [0, +\infty[\to\mathbb R$ estar acotado y ser continuo, y $(X_t)_{t\geq 0}$ sea un proceso adaptado tal que X $_0 = 0$ y $X_t = \int_0^t f(s, X_s){\rm d}\!s$ para todos $t\geq0$ también definen $\pmb t = \inf\{t\ge 0 \;;\; X_t\gt1\}$ .
Tengo que demostrar que $(X_t)_{t\geq0}$ es casi seguramente continua y que $\pmb t$ es un tiempo de parada.
Lo primero que se me ocurre es que $f$ está acotado, lo que significa que ${\rm d}\!X_t$ está acotado, por lo que incluso $\frac{{\rm d}\!X}{{\rm d}\!t}$ puede ser discontinua, todavía podemos ver que la integración de una pequeña cantidad de tiempo tendrá un límite superior e inferior, esto implica $t\mapsto X_t$ es continua ya que su cambio para un cambio dado en t puede ser acotado.
Pero no estoy seguro de si esta técnica es aplicable a los procesos estocásticos o a los procesos adaptados o no. También estoy muy confundido por el término "casi seguramente continuo", sé que es una propiedad en el movimiento browniano, pero no tengo idea de demostrarlo en esta cuestión. He buscado un poco, y tengo la idea de que la continuidad casi segura podría entenderse como continuidad muestral.. https://en.wikipedia.org/wiki/Sample-continuous_process
También intenté aprovechar un teorema sobre la continuidad casi segura: https://en.wikipedia.org/wiki/Kolmogorov_continuity_theorem Pero todavía no lo he resuelto.
Sinceramente, espero que algún experto pueda darme alguna pista. ¡Muchas gracias de antemano!
