Calcular el espacio tangente a la matriz unitaria

Question

Calcular el espacio tangente $T_pM$ de la matriz unitaria $p=I$ cuando $$(i)\,M=SO(n)\\ (ii)\,M=GL(n)\\ (iii)\,M=SL(n).$$

Mi intento: Creo que he calculado el espacio tangente en el caso de que $M=SL(n)$ . Podemos escribir $SL(n)=\det^{-1}(1)$ y he demostrado en un ejercicio anterior que $1$ es un valor regular y que $D\det(I)\cdot H= \text{trace } H$ . Así que el espacio tangente está formado precisamente por esas matrices $H$ que tienen un rastro de desaparición.

No sé cómo proceder en los otros dos casos. ¿Podemos escribir $SO(n)$ o $GL(n)$ como la preimagen de un valor regular?

Answer 1

Básicamente escribes la ecuación definitoria de tu grupo. Lo haré para $O(n)$ . Algo así:

$$M^TM=1$$

El espacio tangente puede definirse como la clase de equivalencia de las direcciones de las curvas en su colector. Sea $M_t\in O(n)$ con $M_0=1$ y $\frac{d}{dt}\bigr|_{t=0}M_t=X$ . Entonces

$$ \frac{d}{dt}\bigr|_{t=0}M_t^TM_t=0 $$

por lo que $$ X^T+X=0 $$

Así que has demostrado que las direcciones tangentes están contenidas en las matrices de simetría oblicua. Ahora también tienes que demostrar que cualquier matriz simétrica oblicua puede aparecer como una dirección tangente. Esto se puede hacer utilizando la exponencial de la matriz. Dado $X$ simétrica sesgada, estudia la trayectoria $M_t=\exp (tX)$ Proceda de forma similar para los demás grupos.

Answer 2

Se trata de cálculos fundacionales de lo que antes se llamaba la teoría de los "grupos continuos", ahora llamados grupos de Lie. Las estructuras de los grupos son, de hecho, lisas en la terminología actual, no sólo continuas. El material inicial de cualquier texto sobre Grupos de Lie y álgebras de Lie tendrá lo que busca. Las respuestas respectivas para $SO(n), GL(n)$ y $SL(n)$ son

(i) matrices asimétricas, (ii) todas las matrices, (iii) matrices de traza 0.