Preguntas sobre las ecuaciones de Navier-Stokes, la notación de Einstein, el rango del tensor

Question

Estoy viendo la ecuación de Navier-Stokes en notación de índices y cómo obtenerlos en notación vectorial:

$$ {\partial u_i \over \partial t}+ u_j {\partial u_i \over \partial x_j}= -\frac{1}{\rho}{\partial p \over \partial x_i}+ \nu {\partial^2 u_i \over \partial x_j \partial x_j}+g_i $$

1ª ecuación: Los términos de aceleración local, presión y forzamiento del cuerpo parecen simples. ¿Es correcto decir que, como tienen 1 índice libre (i), son tensores de rango 1, es decir, vectores donde i = 1,2 y 3 para 3D?

Segunda pregunta: Para el término de aceleración por convección (supongo que el término difusivo sería similar): $$ u_j {\partial u_i \over \partial x_j}, $$ ¿es correcto decir que el $u_j {\partial \over \partial x_j}$ al no tener índices libres y 1 índice ficticio (j), es un tensor de rango 0 y, por tanto, un escalar (tras la suma)?

Tercera pregunta: Si la pregunta 2 es correcta puede $u_i$ en el mismo término, un vector, simplemente se multiplica entonces por $u_j {\partial \over \partial x_j}$ ¿un escalar, para luego obtener un vector?

Esta es probablemente una pregunta suave para cualquiera que haga mucho cálculo tensorial. Estoy tratando de enseñar algunas cosas sobre las ecuaciones de Navier-Stokes y estoy tratando de asegurarme de que todas mis definiciones con respecto al rango del tensor y la notación del índice son correctas.

Answer 1

¿Es correcto decir que como tienen 1 índice libre (i) son tensores de rango 1, por tanto vectores donde i = 1,2, y 3 para 3D?

Sí, pero... no siempre. En general, una expresión con un índice libre $i$ podría interpretarse como el $i$ -componente de un $1 \times n$ matriz de números. Si tiene 2 índices libres $i,j$ como el componente (i,j) de una matriz, y así sucesivamente. Sin embargo, las matrices y los tensores no son lo mismo. Los tensores deben obedecer ciertas reglas de transformación bajo rotaciones, por ejemplo, y nosotros "representamos" estos tensores con matrices de números. Para tu problema, estas cantidades son vectores, pero siempre puedes evitar entrar en los detalles de las propiedades de transformación y pensar simplemente en ellas como matrices. En realidad, siempre que surge un índice ficticio de la física no relativista, es casi siempre seguro que la cantidad es también la componente de un vector.

¿es correcto decir que el $_\frac{}{_}$ al no tener índices libres y 1 índice ficticio (j), es un tensor de rango 0 y, por tanto, un escalar (tras la suma)?

Sí, es un operador escalar (sin índices libres) pero ten en cuenta que esto puede cambiar dependiendo del objeto sobre el que actúe, por ejemplo: si actúa sobre una función (escalar) será escalar, si actúa sobre un vector (1 índice libre) será un vector, y así sucesivamente. También hay que tener en cuenta que no se pueden sumar cantidades con distinto rango (es decir: un número + un vector no es una operación válida, por lo tanto, si identificas que una ecuación está formada por una suma de vectores como la de Navier Stokes, entonces... los otros términos también deben ser vectores).

Si la pregunta 2 es correcta puede $_$ en el mismo término, un vector, simplemente se multiplica entonces por $_\frac{}{_}$ , un escalar, para luego obtener un vector

Sí, lee los comentarios anteriores.

Además, puede ser útil interpretar cosas como $\frac{}{_}$ como los componentes de $\vec{\nabla}$ (un gradiente), contracciones como productos de puntos, $_\frac{}{_}$ como una derivada direccional $\vec{u}\cdot\vec{\nabla}$ , $\frac{}{__}$ como un Laplaciano $\Delta^2$ etc. Además, hay que tener en cuenta que $_\frac{}{_}\neq \frac{_}{_}$ (la primera es una derivada direccional y la segunda una divergencia).