Composición de la función analítica

Question

Dado $g(z)=\sqrt r e^{i\theta/2}$ , $(r>0,-\pi<\theta<\pi)$ es analítica en su dominio de definición, demuestre que la función $G(z) = g(2z-2+i)$ es analítica en el semiplano $x>1$ .

Mi pregunta, ¿Por qué es $G(z)$ analítica en el semiplano $x>1$ ? ¿No es $G(z)$ analítica en cualquier $z\in \mathbb{C}$ tal que $2z-2+i\neq 0$ ?

Editar, he leído mal el dominio. No incluye $z\in \mathbb{C}$ con $\arg(z)=\pi$ .

Answer 1

No. Es analítico en $$\{z\in\mathbb{C}\,|\,2z-2+i\notin(-\infty,0]\}.$$