Estoy buscando un ejemplo de un anillo conmutativo con $1$ en el que cada ideal está generado por un único elemento, para el que la conclusión del teorema de la estructura para módulos finitamente generados es errónea. (Se permite que el anillo tenga divisores cero, por lo que no es un EPI).
¿Hay algún ejemplo? ¿Qué ocurre si se suprimen las demás condiciones (conmutatividad, $1\in R$ )? ¿Sigue fallando entonces el teorema de la estructura?
La nota enlazada en la respuesta de Timothy Wagner ha sido sustituida por otro , que sólo muestra el teorema de la estructura para los PID, por lo que puede valer la pena señalar que el teorema de la estructura es válido para cualquier anillo ideal principal (PIR), posiblemente con divisores cero. En concreto, un teorema de Zariski-Samuel nos dice que un PIR es un producto directo de PIDs y PIRs locales artinianos. Para éstos, se cumple el teorema de la estructura y se tiene la unicidad (para esto último, véase Pregunta de Keenan Kidwell que mencionó en el comentario). Dado que un módulo $V$ sobre un anillo $R= R_1 \times \dotsb \times R_n$ se descompone canónicamente como $V= Ve_1\oplus \dots Ve_n$ donde el $e_i$ son los idempotentes obvios, y $Ve_i$ es un $R_i$ -módulo, hemos terminado.
No puedo escribir esto es en los comentarios. Aunque esto no es una respuesta a tu pregunta, un teorema de estructura similar es válido para anillos ideales principales en los que cada módulo generado finitamente es isomorfo a una suma directa de módulos cíclicos.
http://www.iecn.u-nancy.fr/~gaillard/DIVERS/Principal.ideals/principal.ideals.070702.pdf
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