¿Cómo puedo resolver la relación de recurrencia sin contar manualmente?

Question

Dada la relación de recurrencia : $a_{n+1} - a_n = 2n + 3$ ¿Cómo puedo resolver esto?

He intentado esta pregunta, pero no he conseguido la respuesta dada en la clave de respuestas.

Primero encontré la solución general homogénea que es $C(r)^n$ donde la raíz es 1 por lo que obtenemos $C(1)^n$ . Entonces encontré la solución particular no homogénea que era $A_1(n) + A_0$ .

A continuación, introduje la solución particular en la relación de recurrencia dada y resolví $A_0$ y $A_1$ . Tengo $A_0 = -1$ y $A_1 = 5$ . Después de otros pasos obtuve

$a_n = 5n-1 + 2(1)^n$

Sin embargo, esa respuesta es completamente errónea, en la clave de respuestas tienen

$a_n = (n+1)^2$ . ¿Puede alguien explicarme cómo se llega a esta respuesta?

EDIT: La condición inicial es que $n\ge 0$ y $a_0 = 1$ .

Answer 1

Dejemos que $$f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n x^n.$$ Multiplicando ambos lados de la ecuación de recurrencia dada por $x^n$ y sumando sobre $n\geqslant0$ el lado izquierdo se convierte en $$\sum_{n=0}^\infty a_{n+1}x^n-\sum_{n=0}^\infty a_nx^n = \frac1x\sum_{n=0}^\infty a_{n+1}x^{n+1} - f(x) = \frac1x\left(f(x)-1\right)+f(x).$$ El lado derecho se convierte en $$\sum_{n=0}^\infty (2n+3)x^n = 2\sum_{n=0}^\infty(n+1)x^n + \sum_{n=0}^\infty x^n=\frac2{(1-x)^2}+\frac1{1-x}. $$ Igualando los dos tenemos $$\frac1x\left(f(x)-1\right)+f(x) = \frac2{(1-x)^2}+\frac1{1-x},$$ y resolviendo para $f(x)$ , $$f(x) = \frac{1+x}{(1-x)^3}. $$ Ahora $$\frac1{(1-x)^3}=\sum_{n=0}^\infty\frac12(n+1)(n+2)x^n = 1 + \sum_{n=1}^\infty\frac12(n+1)(n+2)x^n, $$ y $$\frac x{(1-x)^3}=\sum_{n=0}^\infty\frac12(n+1)(n+2)x^{n+1} = \sum_{n=1}^\infty \frac12n(n+1)x^n. $$ Por lo tanto, $$ \begin{align*} \frac{1+x}{(1-x)^3} &= 1 + \sum_{n=1}^\infty\frac12(n+1)(n+2)x^n + \sum_{n=1}^\infty\frac12n(n+1)x^n\\ &= 1 + \sum_{n=1}^\infty\frac12(n+1)(n+n+2)x^n\\ &= 1 + \sum_{n=1}^\infty(n+1)^2x^n\\ &= \sum_{n=0}(n+1)^2x^n. \end{align*} $$ De ello se desprende que $a_n=(n+1)^2$ para $n\geqslant0$ .

Answer 2

Existe un teorema algo intuitivo que dice que si se toma $\sum_{j=0}^n P(j)$ donde $P$ es un polinomio de grado $d$ entonces la respuesta será un polinomio en $n$ de grado $d + 1$ . Si sabes esto, entonces puedes simplemente introducir los valores de $n = 0,1,2$ y luego resuelve el sistema lineal de ecuaciones que surge para encontrar los coeficientes de tu solución polinómica cuadrática.

Para una solución más directa para su caso, tenga en cuenta que sumando $3$ exactamente $N$ veces dará lugar a un plazo de $3N$ . Así que sólo queda ver qué pasa cuando se suman $2n$ para $n=1 \ldots, N$ . Para ver a qué equivale esto, observa que puedes duplicar la secuencia $1,2, \ldots N$ y escribir el duplicado en orden inverso $N,N-1,\ldots,1$ . alineándose con la secuencia original. Entonces se tiene el doble de la suma si se suman todos los términos , pero cada par de términos alineados suma $N+1$ y tienes $N$ pares de términos. Así, la suma es $N(N+1)/2$ . Esto es todo lo que necesitas para demostrar que tu solución debe ser un polinomio cuadrático.

Answer 3

Denota por $s_n$ la diferencia $a_{n+1}-a_n$ . Es fácil ver que $a_n=a_0+ \left (s_{n-1}+s_{n-2}+ ... +s_0 \right)$ ; de $s_j=2j+3$ obtenemos $$a_n=a_0+\sum_{j=0}^{n-1}s_j=a_0+\sum_{j=0}^{n-1}(2j+3)=1+2 \cdot \frac{(n-1)n}{2} + 3n =1+n^2-n+3n=n^2+2n+1 = (n+1)^2.$$ En los cálculos anteriores hemos utilizado la fórmula de Gauss: $\sum_{j=1}^{m} j = \frac{m(m+1)}{2}$ .