¿Qué álgebras de Banach son álgebras de grupo?

Question

Dado un grupo Hausdorff localmente compacto $G$ se pueden construir varias álgebras estelares de Banach utilizando $G$ (y su medida de Haar asociada): $L^1 (G)$ , $M(G)$ (medidas complejas regulares en $G$ ), $L^{\infty} (G)$ , $C^* (G)$ , $C^*_r (G)$ , $W^* (G)$ etc. (véase esto Artículo de la Wiki para algunos detalles). Entonces se puede preguntar, por ejemplo, qué *álgebras de Banach pueden representarse (es decir, son isométricamente *isomorfas) a/as $L^{\infty} (G)$ . En este caso, toda álgebra de este tipo es un álgebra abeliana de Von-Neumann, y toda álgebra abeliana de Von-Neumann puede representarse como $L^ \infty (X,\mu)$ para algún conjunto $X$ con medida $\mu$ `, por lo que la pregunta se reduce a la pregunta "¿qué medidas son medidas de Haar (en algún grupo LCH)?". Sin embargo, me interesa sobre todo este tipo de preguntas para las álgebras $L^1 (G)$ . Se sabe que dicha álgebra de Banach * es semisimple y simétrica para cualquier abeliano Grupo LCH $G$ por lo que obviamente no se pueden representar todas las *álgebras conmutativas de Banach como $L^1 (G)$ . Así que, para resumir, tengo dos preguntas:

1. ¿Existe una caracterización teórica de operadores de las álgebras de Banach que son isométricamente *-isomorfas a $L^1 (G)$ para algunos $G$ ? En particular, ¿existe una *álgebra de Banach abeliana, simétrica y semisimple que no sea $L^1 (G)$ para algunos $G$ ?

2. ¿Existen clases de álgebras de Banach * a las que se pueda asociar un grupo LCH $G$ en un canónico manera (hasta un isomorfismo de grupos topológicos), por lo que el álgebra es naturalmente isomorfo a un álgebra de grupo $L^1 (G)$ ?

Además, si hay alguna referencia conocida para este tipo de problemas, estaré encantado de conocerla.

Answer 1

Una caracterización de las álgebras de Banach que son isométricamente *-isomorfas a $L^1(G)$ para algunos $G$ fue dada por P. L. Patterson, Characterization of algebras arizing from locally compact groups, Trans. Amer. Math. Soc. 329 (1992), 489-506. Este trabajo contiene referencias a otros anteriores que tratan de clases especiales de grupos, en particular abelianos y compactos.

Answer 2

[Esto es demasiado largo para ser un comentario, pero es, en el mejor de los casos, una respuesta parcial; sólo pensé en escribirlo mientras tengo tiempo libre].

En cuanto a la 2ª parte de la pregunta 1: hay que imponer algunas hipótesis adicionales para captar la pregunta "real" que sospecho que le interesa. De lo contrario, basta con tomar $C[0,1]$ que es ciertamente abeliano, simétrico como * -y semisimple. Esto no puede ser isomorfo a $L^1$ de cualquier cosa, incluso como un espacio de Banach. (Para dar un poco más de detalle: cada mapa de $C[0,1]$ a $L^1$ es débilmente compacto, por lo que si los dos fueran isomorfos como espacios de Banach entonces el mapa de identidad en $C[0,1]$ sería débilmente compacto, lo que implica $C[0,1]$ es reflexivo, lo que no es el caso). Si se quiere que no C* -ejemplos entonces $C^1[0,1]$ también lo hará, por las mismas razones.

Si buscas un contraejemplo en el que el espacio de Banach subyacente se parezca a $L^1$ o $\ell^1$ Entonces sugiero el álgebra de convolución $\ell^1(S)$ donde $S$ es un semilatino infinito (=semigrupo conmutativo en el que todos los elementos son idempotentes); la involución es sólo conjugación compleja. La semisimplicidad se demuestra en un viejo artículo de Hewitt y Zuckerman (no estoy seguro de la ortografía del nombre del segundo autor, y como estoy fuera de la oficina no puedo comprobarlo ahora mismo). La forma más rápida, si no la más directa, de demostrar que un álgebra de este tipo no es isomorfa a un álgebra de grupo abeliano, es utilizar el hecho (Duncan y Namioka, finales de los años 70) de que $\ell^1(S)$ para tal $S$ nunca es amenable, mientras que todo abeliano $L^1$ -El álgebra de grupos es susceptible (Johnson, 1972). Sin embargo, debería haber una forma más sencilla de distinguir las dos clases de álgebra.

Actualización. Si sólo te interesa el isomorfismo isométrico de las álgebras de Banach, hay una forma mucho más fácil de demostrar $\ell^1(S)$ no es un álgebra de grupo. Ya que si $\theta: \ell^1(S)\to L^1(G)$ es un isomorfismo algebraico isométrico, entonces examinando dónde van los puntos extremos de la bola unitaria, se encuentra que $G$ debe ser discreto y para cada $x\in S$ , $\theta(\delta_x)=\delta_{\phi(x)}$ donde $\phi:S \to G$ es un isomorfismo de semigrupos. Ahora $S$ tiene muchos idempotentes, $G$ sólo tiene uno, y hemos reducido al absurdo como se dice.