¿Esta serie sinusoidal está acotada?

Question

Dejemos que $$f(x)=\sum_{k=1}^{\infty}\sin\left(\frac{x}{2^k}\right)$$

Es $f(x)$ ¿limitado?

EDITAR:

Pregunto si hay $M \in R$ (M constante), s.t. $\forall x$ $|f(x)|<M$

EDIT2:

He eliminado las partes que causaban confusión.

Answer 1

No hay límite, porque $$f(2^{3n}\cdot\frac{2\pi}{7}) = f(\frac{2\pi}{7}) + n\biggl(\sin(\tfrac17 2\pi) + \sin(\tfrac27 2\pi) + \sin(\tfrac47 2\pi)\biggr)$$ y el factor de $n$ en el lado derecho es distinto de cero (es aproximadamente 1,32).

Answer 2

No, no tiene límites.

Dejemos que $f_N(x) = \sum_{k=1}^N \sin(x/2^k)$ . Entonces $|f(x) - f_N(x)| \le \sum_{k=N+1}^\infty |x|/2^k = |x|/2^N$ . Ahora en $[0, 2^N \pi]$ , $\sin(x/2^k)$ para $k=1,\ldots,N$ son ortogonales, por lo que $\int_0^{2^N \pi} f_N(x)^2 = \sum_{k=1}^N \int_0^{2^N \pi} \sin^2(x/2^k)\ dx = N 2^{N-1} \pi$ . Por lo tanto, debe haber algún $x_N \in [0, 2^N \pi]$ con $|f_N(x_N)| > \sqrt{N/2}$ y $|f(x_N)| > \sqrt{N/2} - \pi$ .

Answer 3

Edición posterior: Veo que has editado tu pregunta de manera que la parte de mi respuesta que está entre comillas ya no es una cita literal de la pregunta, y quizás toda la intención de la pregunta ha cambiado.
fin de la edición posterior

La afirmación de que $\lim\limits_{x\to0}\sin x = x$ no tiene sentido si se toma literalmente con las definiciones habituales. En la expresión $\lim\limits_{x\to0}\sin x$ la variable $x$ es un variable vinculada Así que no " $x$ " debe aparecer cuando se evalúa la expresión.

"Podemos tratar la serie como $\sum\limits_k (x/2^k)$ " puede tener sentido si se habla de si converge, pero no si se habla de cuál es la suma.

La convergencia o divergencia no se ve afectada por el cambio de un número finito de términos. Los primeros términos en los que $\sin(x/2^k)$ no está cerca de $x/2^k$ por lo que no afectan a la convergencia ni a la divergencia. Pero sí afectan al valor de la suma.