¿Existe una curva de relleno del espacio que envíe todo conjunto convexo a un conjunto convexo?

Question

¿Existe una función continua suryente $f:[0,1]\to [0,1]^2$ que mapea cada conjunto convexo a un conjunto convexo?

Una función de este tipo podría considerarse un tipo de curva especialmente "regular" para rellenar el espacio. Por supuesto, hay muchos ejemplos conocidos de proyecciones continuas $[0,1]\to[0,1]^2$ como el Curva de Peano pero ninguno de ellos parece mapear conjuntos convexos a conjuntos convexos.

Answer 1

Respuesta parcial: Aquí hay una discontinuo función suryectiva $f:[0,1]\rightarrow[0,1]^2$ que mapea conjuntos convexos a conjuntos convexos. Podemos asegurarnos de que cada intervalo mapea a todo el conjunto (convexo) $[0,1]^2$ .

Digamos que dos números reales están en el mismo clase de equivalencia si su expansión decimal única (sin cola infinita de 9s) difiere sólo en un número finito de dígitos. Por ejemplo $0=0.0000...$ , $1=1.0000...$ , $1/2=0.50000...$ están todos en la misma clase de equivalencia.

Dejemos que $A$ sea el conjunto de todas las clases de equivalencia. La cardinalidad de $A$ es la misma que la de los reales, que es la misma que la de $[0,1]^2$ . Por tanto, existe una función suryectiva $g:A\rightarrow [0,1]^2$ . Para cada $x\in[0,1]$ dejar $a(x) \in A$ denotan su clase de equivalencia. Definir $f:[0,1]\rightarrow[0,1]^2$ por $$ f(x) = g(a(x))$$ Dejemos que $I\subseteq[0,1]$ sea un intervalo (que contenga más de un punto). Entonces $I$ contiene puntos de todo clases de equivalencia en $A$ Así que $f(I)=[0,1]^2$ .

Todos los subconjuntos convexos $C \subseteq [0,1]$ que contienen al menos dos puntos distintos deben contener el intervalo entre esos puntos, por lo que $f(C)=[0,1]^2$ . Y, por supuesto, todos los conjuntos de un punto se asignan a conjuntos de un punto.

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Nota: Originalmente pasé por alto el requisito de continuidad, como señala zhw más abajo. Así que he editado para enfatizarlo.