Que sea $A$ y $B$ dos matrices reales de $n \times n$ . Y $\left \langle , \right \rangle$ denota el producto interno habitual en $\mathbb{R}^{n}.$
Demostrar que si $A$ y $B$ son simétricos entonces $\forall x \in \mathbb{R}^{n}$ que satisface:
\begin{align*} \left \langle (A^{2}+B^{2})x,x \right \rangle\geq \left \langle (AB+BA)x,x \right \rangle \end{align*} Sugerencia : Considere $\left \langle (A-B)^{2}x,x \right \rangle$
Lo que creo que puedo hacer es constatar eso:
\begin{align*} \left \langle A^{2}+B^{2})x,x \right \rangle&=\left \langle A^2x,x \right \rangle + \left \langle B^2x,x \right \rangle\\\left \langle AB+BA)x,x \right \rangle&=\left \langle AB,x \right \rangle + \left \langle BA,x \right \rangle \end{align*}
Y luego tratar de demostrar en general que:
\begin{align*} \left \langle A^2x,x \right \rangle&\geq\left \langle ABx,x \right \rangle\\ \end{align*}
Sin embargo, no sé cómo utilizar la pista y el hecho de que las matrices son simétricas. ¿Pueden ayudarme, por favor? Te lo agradecería mucho.
