$U$ es abierto, entonces encuentre una secuencia de conjuntos cerrados $ I_{n+1} \subset I_{n}$

Question

Dejemos que $U = ]0,1[$ entonces estoy tratando de encontrar una secuencia de conjuntos cerrados $(I_n)_{n \in \mathbb{N}}$ de $\mathbb{R}$ tal que :

$$ I_{n+1} \subset I_n \text{ and } \cap_{n \in \mathbb{N}} I_n \subset U$$

Y tal que no hay un $ r \in \mathbb{N}$ tal que :

$$\forall N > r, I_N \subset U$$

No logré encontrar tal secuencia de conjuntos cerrados.

El principal problema es que la intersección de conjuntos cerrados sigue siendo un conjunto cerrado, por lo que la segunda condición lo hace difícil.

Así, por ejemplo: $I_n =[1/2, 1+1/n]$ no funcionan desde $I_{\infty} = [1/2,1]$ que es cerrado y, por tanto, no es un subconjunto de $U$ .

Answer 1

Dicha secuencia existe .

En primer lugar, hay que tener en cuenta que como $\mathbb{R} \backslash U$ no es compacta entonces por Borel- Lebesgue es posible encontrar una secuencia que cumpla la condición del problema.

Basta con tomar :

$$I_n = [n, +\infty)$$

Entonces tenemos claramente :

$$\bigcap_{i = 1}^{\infty} I_i = \emptyset \subset U$$

Por lo tanto, dicha secuencia existe.