En el cálculo de una variable leí:
Una función $f$ es diferenciable en un intervalo abierto si es diferenciable en cada número del intervalo.
Me pregunto por qué en la definición se supone que el intervalo es abierto. Este es el caso del teorema de Rolle, el teorema del valor medio, etc.
¿Tenemos la noción de que una función es diferenciable en un intervalo cerrado $[a,b]$ ?
El problema es uno de definiciones coherentes . Intuitivamente, podemos dar sentido a la diferenciabilidad en un intervalo cerrado: pero requiere una formulación algo más cuidadosa de la definición de "diferenciable en un punto". No sé qué libro estás usando, pero apuesto a que contiene (alguna versión de) la siguiente definición (ingenua):
Definición Una función $f$ es diferenciable en $x$ si $\lim_{y\to x} \frac{f(y) - f(x)}{y-x}$ existe y es finito.
Para dar sentido al límite, a menudo el libro de texto requiere explícitamente que $f$ sea definido en un intervalo abierto que contiene $x$ . Y si la definición de diferenciabilidad en un punto requiere $f$ para ser definida en un intervalo abierto del punto, la definición de diferenciabilidad en un conjunto sólo puede afirmarse para conjuntos para los que cada punto está contenido en un intervalo abierto. Para ilustrarlo, consideremos una función $f$ definido sólo en $[0,1]$ . Ahora intenta determinar si $f$ es diferenciable en $0$ aplicando ingenuamente la definición anterior. Pero como $f(y)$ es indefinido si $y<0$ el límite
$$ \lim_{y\to 0^-} \frac{f(y) - f(0)}{y} $$
es indefinido y por lo tanto la derivada no puede existir en $0$ utilizando una lectura particular de la definición anterior.
Para ello, algunos utilizan la noción de semiderivados o derivados unilaterales cuando se trata de puntos límite. Otras personas simplemente hacen la convención de que cuando se habla de cerrado intervalos, en la frontera la derivada se define necesariamente utilizando un límite unilateral.
Sin embargo, su libro de texto no está siendo sólo pedante. Si se quiere estudiar el cálculo multivariable, la definición de diferenciabilidad que exige tomar límites en todas las direcciones es mucho más robusta, en comparación con los límites unilaterales: el principal problema es que en una dimensión, dado un punto límite, hay claramente una "izquierda" y una "derecha", y cada una ocupa "la mitad" de las direcciones disponibles. Esto ya no es así para los dominios de dimensiones superiores. Consideremos el dominio
$$ \Omega = \{ y \leq \sqrt{|x|} \} \subsetneq \mathbb{R}^2$$
$\hspace{5cm}$
Un punto límite particular de $\Omega$ es el origen. Sin embargo, desde el origen, casi todas las direcciones apuntan al interior $\Omega$ (el único que no lo hace es el que apunta hacia arriba, en positivo $y$ dirección). Por lo tanto, el derivado total no puede definirse en el origen si una función $f$ sólo se define en $\Omega$ . Pero si se intentan aflojar las definiciones y se permite considerar sólo las derivadas direccionales "definidas", es posible que no se junten del todo bien. (Un ejemplo canónico es la función $$f(x,y) = \begin{cases} 0 & y \leq 0 \\ \text{sgn}(x) y^{3/2} & y > 0\end{cases}$$ donde $\text{sgn}$ devolver $+1$ si $x > 0$ , $-1$ si $x < 0$ y $0$ si $x = 0$ . Su gráfico se parece a lo que ocurre cuando se rompe un papel).
$\hspace{4cm}$
Pero tenga en cuenta que esto es principalmente un fallo de la definición ingenua original de diferenciabilidad (que, sin embargo, puede ser pedagógicamente más conveniente). Se puede definir una noción mucho más general de diferenciabilidad:
Definición Dejemos que $S\subseteq \mathbb{R}$ y $f$ a $\mathbb{R}$ -definida sobre $S$ . Sea $x\in S$ ser un punto límite de $S$ . Entonces decimos que $f$ es diferenciable en $x$ si existe una función lineal $L$ tal que para cada secuencia de puntos $x_n\in S$ diferente de $x$ pero convergiendo a $x$ tenemos que $$ \lim_{n\to\infty} \frac{f(x_n) - f(x) - L(x_n-x)}{|x_n - x|} = 0 $$
Esta definición es un bocado (y bastante difícil de enseñar en un curso de introducción al cálculo), pero tiene varias ventajas:
Para esta definición, se puede añadir fácilmente
Definición Si $S\subseteq \mathbb{R}$ es tal que cada punto $x\in S$ es un punto límite de $S$ y $f$ es una función de valor real sobre $S$ decimos que $f$ es diferenciable en $S$ si $f$ es diferenciable en todos los puntos $x\in S$ .
Fíjate en que esto se parece mucho a la afirmación que has citado en tu pregunta. En la definición de diferenciabilidad puntual hemos sustituido la condición " $x$ está contenido en un barrio abierto" por " $x$ es un punto límite". Y en la definición de diferenciabilidad en un conjunto acabamos de sustituir la condición "todo punto tiene una vecindad abierta" por "todo punto es un punto límite". (A esto me refería con lo de la consistencia: la forma en que se defina la diferenciabilidad puntual afecta necesariamente a la forma en que se defina la diferenciabilidad del conjunto).
Si se pasa a estudiar geometría diferencial, esta cuestión se manifiesta tras las definiciones de "colectores", "colectores con límites" y "colectores con esquinas".
Una función es diferenciable en un conjunto $S$ si es diferenciable en cada punto de $S$ . Esta es la definición que he visto en los textos de cálculo básico, y que refleja la definición de continuidad en un conjunto.
Así que $S$ puede ser un intervalo abierto, un intervalo cerrado, un conjunto finito, de hecho, puede ser cualquier conjunto que quieras.
Así que sí, tenemos la noción de que una función es diferenciable en un intervalo cerrado.
La razón por la que el teorema de Rolle habla de diferenciabilidad en el intervalo abierto $(a,b)$ es que es un más débil que exigir la diferenciabilidad en $[a,b]$ .
Normalmente, los teoremas intentan que las suposiciones sean lo más débiles posible, para que sean de aplicación más general.
Por ejemplo, la función
$$f(x) = x \sin \frac{1}{x}, x \gt 0$$ $$f(0) = 0$$
es continua en $0$ y diferenciable en todas partes excepto en $0$ .
Todavía se puede aplicar el teorema de Rolle a esta función en, por ejemplo, el intervalo $(0,\frac{1}{\pi})$ . Si el enunciado del teorema de Rolle requiriera el uso del intervalo cerrado, entonces no podrías aplicarlo a esta función.
Buena pregunta, Palio, estuve buscando en la red la misma pregunta y su respuesta, esto es lo que entiendo, toma ejemplo de derivada, derivada por definición es $\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ Aquí $h$ puede ser positivo o negativo, ya que el término $f(x+h)$ para que tenga sentido o sea válida, la función $f$ debe definirse "alrededor" del punto $x$ Esto, matemáticamente, es definir una función en un intervalo abierto.
Espero que esto ayude, aunque ya han pasado 4 meses desde que preguntaste :)
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