Es esta una caracterización de los pedidos?

Question

Mientras que la calificación unos papeles, y pensando en una pregunta relativa a los pedidos (en particular, señala un error en una solución), llegué a pensar de una razonable caracterización de los pedidos. Puedo ver de inmediato es cierto para los contables de las órdenes, pero no para los innumerables pedidos.

Definición. Deje $\cal L$ ser de primer orden lenguaje, y $\cal M$ $\cal L$- estructura. Decimos que $\cal M$ es rígido si $\text{Aut}(\cal M)=\{\rm id\}$.

Conjetura. Deje $\cal L=\{<\}$. A continuación, $\mathcal M=\langle M,<\rangle$ es rígido si y sólo si es un bien de orden o su inverso orden es una orden.

Una dirección es trivial. Bien los pedidos son rígidos (y por lo tanto su revocó las órdenes son rígidos). En la otra dirección, si $\cal M$ es contable, entonces es fácil. Supongamos que no es un bien de orden.

1. Si $\cal M$ contiene un convexo copia de$\Bbb Z$, a continuación, corregir todo lo demás y a cambio de que la copia por $1$.
2. De lo contrario, $\cal M$ contiene un convexo copia de $\Bbb Q$ y, a continuación, podemos cambiar esa copia de $1$ (o multiplicar por $\frac12$, lo que flota su barco).

El problema es que para innumerables tipos de pedido, la cosa se complica y puede ser $\kappa$-denso, por lo que ninguno de los argumentos trabajo (y no hay ninguna estructura aditiva - que yo sepa - que podemos explotar, como en el caso contables).

Pregunta: ¿la conjetura de espera, o hay algún intrincado contraejemplo?

Answer 1

La conjetura no se sostiene. Para un simple contraejemplo, considere la posibilidad de $\omega+\omega^*$.

De hecho, hay algo dramático contraejemplos: En esta respuesta, Brian M. Scott se refiere a

B. M. Scott. Una caracterización de los pedidos, Fundamenta Mathematicæ, 111 (1), 71-76. MR0607921 (82i:06001),

donde demuestra que por cada infinitas $\kappa$ $2^{<\kappa}=\kappa$ hay una rígida densa orden lineal de tamaño $2^\kappa$. Además, esta orden no admitir incluso el fin de la preservación de las inyecciones en sí mismo distinto de la identidad.

Para $\kappa=\omega$, este es un resultado de Dushnik y Miller, que incluso han construido un conjunto, como una densa subconjunto de los reales. Este es el Teorema 9.1 de la

José G. Rosenstein. Lineal órdenes, Pura y Matemática Aplicada, 98. Academic Press, Inc. [Harcourt Brace Jovanovich, Editores], Nueva York-Londres, 1982. MR0662564 (84m:06001).

Para un ejemplo adicional, en su respuesta, Brian también se menciona el conjunto de $$ X=\{(n,\alpha)\mid n\in\omega\,\&\,\alpha\in\omega_n\},$$ ordenado por $(m,\alpha)\le(n,\beta)$ fib $m>n$ (números naturales), o bien $m=n$ $\alpha\le \beta$ (ordinales). Este orden es rígido, y ni un bien ni un inversa bien de la orden.

En su papel, Brian también caracteriza bien-pedidos: Decir que un orden lineal $(X,<)$ es amortiguado iff cada fin de preservar la inyección de $f:X\to X$ satisface $x\le f(x)$ todos los $x$.

Teorema. Un orden lineal $(X,<)$ es un bien de orden iff es acolchada y dispersos.

Hay una relacionada con el concepto de rigidez, donde requerimos $(X,<)$ ser rígido iff que no admite isomorfismo con un segmento inicial de la misma. Este concepto ha sido estudiado por John L. Hickman, ver

J. L. Hickman. La rigidez en orden-tipos, J. Austral. De matemáticas. Soc. La Ser. Un, 24 (2), (1977), 203-215. MR0480217 (58 #397).