Encuentre la inversa de la $n\times n$ matriz cuyas entradas vienen dadas por $a_{ij} = \max (i,j)$

Question

La pregunta que aparece en los exámenes anteriores es "Que $n\ge 1$ sea un número entero y considere el $n\times n$ matriz $A$ cuyas entradas vienen dadas por $a_{ij} = \max(i,j)$ para todos $1\le i,j\le n$ . Demostrar que $A$ es invertible y encontrar la inversa". He demostrado que la matriz es invertible encontrando que el determinante es $(-1)^{n-1}n$ que no es igual a 0 para cualquier valor de $n$ . Sólo me preguntaba si alguien puede decirme cómo encontrar la inversa, estaba pensando en la línea de usar $A^{-1} = (1/\det(A))\mathrm{adj}(A)$ pero no puedo entenderlo, gracias.

Answer 1

Dejemos que $\{e_1,\ldots,e_n\}$ sea la base estándar, $e=\sum_ie_i$ sea el vector todo-uno, $E=ee^T$ sea la matriz todo-uno y $U$ sea la parte triangular superior de $E$ . Entonces $A=(n+1)E-UU^T$ . Aplicar Fórmula Sherman-Morrison y simplificando, obtenemos $A^{-1}=\frac{n+1}n e_ne_n^T - U^{-T}U^{-1}$ es decir $$ A^{-1}=\pmatrix{ -1&1\\ 1&-2&1\\ &1&\ddots&\ddots\\ &&\ddots&\ddots&\ddots\\ &&&\ddots&-2&1\\ &&&&1&\frac{1-n}n}. $$

Answer 2

Esta solución es un cálculo directo.

La matriz $A$ es algo así como: $$ A=\left(\begin{array}{ccccc} 1&2&3&\cdots&n\\ 2&2&3&\cdots&n\\ 3&3&3&\cdots&n\\ \vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\\ n-1&n-1&n-1&\cdots&n\\ n&n&n&\cdots&n \end{array}\right) $$

Dejemos que $v$ ser un $n\times 1$ matriz, escriba $$ v=\left(\begin{array}{c}x_1\\x_2\\x_3\\\vdots\\x_n\end{array}\right) $$ y calcular $Av$ . Denote por $e_i$ el $n\times 1$ matriz con entrada $1$ dans le $i$ -ésima línea y $0$ en las otras entradas. Entonces, la condición $Av=e_i$ implica necesariamente:

Paso 1: $x_j=0$ pour $j=1,2,\cdots,i-2$ (sólo hay que mirar a la primera $i$ ecuaciones y restar una a la siguiente).

Paso 2: Además, si nos fijamos en las ecuaciones $i+1$ a $n$ tenemos $$ \left\{\begin{array}{lll} \sum_{j=1}^llx_j+\sum_{j=l+1}^njx_j&=&0\quad(l>i). \end{array}\right. $$ Esto da (restando $i$ -a partir de $(i+1)$ -th) $\sum_{j=1}^{i+1}x_j=0$ y $x_j=0$ para todos $j=i+2,i+4,\cdots, n$ (restando una de la siguiente, y utilizando la relación anterior).

Combinando ambos pasos y buscando $Av=e_i$ obtenemos (para $1<i<n$ ): $$ \left\{\begin{array}{cccll} x_{i-1}&+x_i&+x_{i+1}&=&0\\ (i-1)x_{i-1} &+ ix_i &+ (i+1)x_{i+1} &=& 0\\ ix_{i-1} &+ ix_i &+ (i+1)x_{i+1} &=& 1\\ (i+1)x_{i-1} &+ (i+1)x_i &+ (i+1)x_{i+1} &=& 0 \end{array}\right. $$ (y todos los demás $x_j=0$ , lo que da $x_{i+1}=x_{i-1}=1,x_i=-2$ ). Para $i=1$ Sólo tenemos Paso 2 y obtener: $$ \left\{\begin{array}{cll} x_{1}+x_2&=&0\\ x_1+2x_2&=&1 \end{array}\right. $$ y obtenemos $x_1=-1$ , $x_2=1$ .

Para $i=n$ Sólo tenemos Paso 1 y obtener: $$ \left\{\begin{array}{lll} (n-1)x_{n-1}+nx_n&=&0\\ nx_{n-1}+nx_n&=&1 \end{array}\right. $$ que da $x_{n-1}=1$ y $x_n=-(n-1)/n$ .

Por lo tanto, obtenemos la inversa de $A$ .