ODE $(2x^6+5x^3-3x)y''(x)+(-14x^5-20x^2+6)y'(x)+30x^4y(x)=0$

Question

$A(x)y''+B(x)y'+C(x)y=0$ representa la ecuación.

1. Intenté usar $t=\phi(x)$ pero el $\int{\sqrt{\frac{C(x)}{A(x)}}}$ da resultados demasiado complicados.

2. $y=UV$ La sustitución no hizo nada.

Sólo quedan soluciones particulares, combinaciones que he probado y que no me han funcionado: $y_p=ax^2+b, y_p=\frac{a}{x^2}+b, y_p=ax^6+b$

Answer 1

Prueba con $y(x)=\sum_{n=a}^{\infty}b_nx^n$ .
Reordena la ecuación para obtener $$\sum_{n=a}^{\infty}x^nf(b_n,b_{n+1},...)=0$$ Así, $f(b_n,b_{n+1},...)=0$ y tienes una recursión para el $b_n$ .
Estas recurrencias pueden dar un valor de $a$ para lo cual $b_{a-1}=b_{a-2}=0\neq b_a$ es posible, así que ese es el punto de partida de la serie.
Las recursiones también pueden dar un valor de $a$ para lo cual $b_{a+1}=b_{a+2}=0\neq b_a$ es posible, por lo que la serie podría terminar en ese valor de $a$ .

Answer 2

Se puede simplificar un poco la ecuación: introducir \begin{equation} p(x) = 2 x^7 + 5 x^4 - 3 x^2, \end{equation} entonces la EDO tiene la forma \begin{equation} \frac{p(x)}{x} y'' - \frac{p'(x)}{x} y' + 30 x^4 y = 0. \end{equation} Esto se puede reescribir como \begin{equation} p^2\left(\frac{y'}{p}\right)' + 30 x^5 y = 0, \end{equation} lo que equivale a \begin{equation} p^3 \left(\frac{1}{p} \frac{\text{d}}{\text{d} x}\right)^2 y + 30 x^5 y = 0. \end{equation} Presentación de \begin{equation} \xi(x) = \int^x \!p(\bar{x})\,\text{d}\bar{x} = \frac{1}{4} x^8 + x^5 - x^3 \,\,(+ \text{constant}), \end{equation} puedes escribir \begin{equation} \frac{1}{p} \frac{\text{d}}{\text{d} x} = \frac{\text{d}}{\text{d} \xi}, \end{equation} por lo que la EDO original se puede "simplificar" a \begin{equation} \frac{\text{d}^2 y}{\text{d} \xi^2} + F(\xi)\, y = 0, \end{equation} donde \begin{equation} F(\xi) = \frac{30 x(\xi)^5}{p(x(\xi))^3}. \end{equation} Hay que reconocer que puede ser un poco engorroso (por no decir otra cosa) invertir la transformación de coordenadas $x \to \xi$ pero puede valer la pena intentarlo.

Si todo lo demás falla, puedes seguir la sugerencia de @Michael e intentar sustituirla por una expansión de serie. Los puntos singulares del coeficiente multiplicador $y''$ no son fáciles de encontrar, por lo que este enfoque podría tener un valor limitado, excepto para las soluciones en torno a $x = 0$ donde la expansión de la serie "habitual" le dará alguna información.

Answer 3

Para los grandes $x$ una EDO aproximada es : $2x^6y''-14x^5y'+30x^4y=0$

Las soluciones del formulario $x^r$ se obtienen al resolver $2r(r-1)-14r+30=0$ qué raíces son $r=5$ y $r=3$ .

Por tanto, es posible (pero no seguro) que las soluciones particulares de la EDO completa sean polinomios de grado 3 y/o 5.

Intentemos $y(x)=$ polinomio de grado 5 con coeficientes indeterminados. Ponerlo en la EDO completa permite identificar los coeficientes. Se trata de un cálculo fácil que conduce a una primera solución $y=x^5+1$

Un cálculo aún más simple con $y=$ polinomio de grado 3 conduce a $y=x^3+1$

Por tanto, la solución general de la EDO completa es : $$y=c_1 (x^5+1) + c_2 (x^3+1)$$

Por supuesto, este método "con suposición" no siempre tiene éxito. ¡Por casualidad, fue el caso esta vez!