Esto puede ser para su sorpresa. En ciertos escenarios, la declaración
$$S = \sum_{k=0}^\infty 2^k = 1 + 2 + 2^2 + 2^3 + \cdots = -1$$ es verdadera y la manipulación $$S = 1 + 2S \quad\implies\quad S = -1$$ ¡es realmente legal! El truco es la convergencia de la serie no es la ordinaria sobre números reales ¡!
Para entender esto, tenemos que dar un paso atrás y preguntarnos cuáles son los números reales $\mathbb{R}$ son.
Una forma de construir $\mathbb{R}$ es partir de los números racionales $\mathbb{Q}$ . En $\mathbb{Q}$ tenemos el valor absoluto ordinario $|x|$ . Utilizando este valor absoluto, podemos convertir $\mathbb{Q}$ en un espacio métrico definiendo la distancia euclidiana habitual:
$$d(x,y) \stackrel{def}{=} |x-y|,\quad \forall x,y \in \mathbb{Q}$$ Cuando $\mathbb{Q}$ es refrendada con la métrica euclidiana $d(\cdot,\cdot)$ podemos hablar de Secuencias de Cauchy en $\mathbb{Q}$ .
Una secuencia $(a_i)$ en $\mathbb{Q}$ es Cauchy si para cualquier $\epsilon > 0$ podemos encontrar un número entero $N$ tal que $d(a_i,a_j) < \epsilon$ siempre que $i, j \ge N$ .
Podemos establecer relaciones de equivalencia entre estas secuencias de Cauchy:
Dos secuencias de Cauchy $(a_i)$ , $(b_i)$ son equivalentes si y sólo si $d(a_i,b_i) \to 0$ como $i \to \infty$ .
Podemos definir la suma, la multiplicación y otras operaciones sobre estas clases de equivalencia de secuencias de Cauchy sobre $\mathbb{Q}$ . Resulta que estas colecciones de clases de equivalencia dan algo que se comporta exactamente como los conocidos números reales $\mathbb{R}$ .
En cierto sentido, podemos construir $\mathbb{R}$ llenando el agujeros entre elementos de $\mathbb{Q}$ y los agujeros se miden con respecto a la métrica euclidiana $d(\cdot,\cdot)$ . Para más detalles en esta línea, consulte la entrada de la wiki en Construcción de números reales .
Lo importante es que hay más de una forma de asignar "valor absoluto" a los números racionales. En particular, dado cualquier primo $p$ podemos definir algo llamado valoración p-ádica para los enteros $n \in \mathbb{Z}$ y luego extenderlo a los números racionales $\frac{a}{b} \in \mathbb{Q}$ :
$$v_p(n) = \begin{cases} \max\{ v \in \mathbb{N} : p^v | n \},& \text{ if } n \ne 0\\ \infty,&\text{ if } n = 0 \end{cases} \quad\text{ and }\quad v_p\left(\frac{a}{b}\right) = v_p(a) - v_p(b) $$
Utilizando esto, podemos definir un valor absoluto alternativo, el norma p-ádica para los números racionales $\mathbb{Q}$ :
$$\mathbb{Q} \ni x \quad\mapsto\quad |x|_p = \begin{cases} p^{-v_p(x)},& \text{ if } x \ne 0\\ 0,& \text{ if } x = 0 \end{cases}$$
Si se repite el procedimiento anterior para $\mathbb{R}$ se pueden rellenar los huecos medidos con respecto a la norma p-ádica $|x|_p$ y obtener algo llamado números p-ádicos $\mathbb{Q}_p$ .
Similar a $\mathbb{R}$ , $\mathbb{Q}_p$ es un espacio métrico completo . Se puede hablar de secuencias, series, convergencia y hacer todo tipo de análisis sobre $\mathbb{Q}$ .
Por ejemplo, para cualquier primo $p$ la siguiente serie geométrica converge $$\sum_{k=0}^\infty p^k = 1 + p + p^2 + \cdots \quad\to\quad \frac{1}{1-p} \quad\text{ in }\; \mathbb{Q_p}$$ porque $|p|_p = \frac{1}{p} < 1$ . En particular, cuando $p = 2$ tenemos $$S = \sum_{k=0}^\infty 2^k = 1 + 2 + 2^2 + \cdots \quad\to\quad = \frac{1}{1-2} = -1 \quad\text{ in }\; \mathbb{Q_2}$$
La prueba es exactamente la misma que se hará sobre números reales: $$\sum_{k=0}^\infty x^k = \frac{1}{1-x}\quad\text{ for }\; |x| < 1\;\text{ in }\;\mathbb{R}$$
En resumen,
- La suma es $-1$ cuando se trabaja con números en $\mathbb{Q}_2$ .
- La suma es $\infty \not\in \mathbb{R}$ cuando se trabaja con números en $\mathbb{R}$ .
- En $\mathbb{Q}_2$ la manipulación $$S = 1 + 2S \quad\implies\quad S = -1$$ es legal porque la serie $S$ converge absolutamente. La misma manipulación es ilegal sobre $\mathbb{R}$ porque la serie $S$ diverge con respecto a la métrica euclidiana.
- Finalmente, $\infty \ne -1$ porque $\mathbb{Q}_2 \ne \mathbb{R}$ .
Consejo
A la gente le gusta lanzar este tipo de declaraciones sólo para confundirte.
Sólo son alucinantes si se ignoran los verdaderos significados que hay detrás de los símbolos.
