Una pregunta sobre el debilitamiento de las condiciones del teorema del punto fijo de Schauder

Question

Actualmente estoy haciendo un curso sobre la teoría de los espacios métricos.

Esta es la versión del teorema del punto fijo de Schauder de mi curso:

Dejemos que $(X,\|\cdot\|)$ sea Banach y $C\subset X$ un lugar cerrado y acotado, y convexo. Si $ f\colon C \to C $ es un mapa compacto, entonces hay a $x_*\in C$ tal que $f(x_*)=x_*$ .

Recuerdo:

A continuo mapa $f\colon C\to C$ (donde $C\subset X$ ) es compacto si para cualquier secuencia acotada $(c_n)$ en $C$ la secuencia $\{f(c_n)\}$ tiene una subsecuencia convergente.

Esta es mi pregunta:

Si no exijo que $f$ es continua, (es decir, llamo a un mapa $f\colon C\to C$ compacto si para cualquier secuencia acotada $(c_n)$ en $C$ la secuencia $\{f(c_n)\}$ tiene una subsecuencia convergente), ¿se mantiene (mi versión de) el teorema del punto fijo de Schauder?

Answer 1

No. Deja que $x_1, x_2 \in C$ , $x_1 \ne x_2$ . Definir $f\colon C \to C$ por \[ f(x) = \begin{cases} x_1 & x \ne x_1\\ x_2 & x = x_1 \end{cases} \] Entonces $f$ tiene una imagen compacta, pero no tiene punto fijo.