Actualmente estoy haciendo un curso sobre la teoría de los espacios métricos.
Esta es la versión del teorema del punto fijo de Schauder de mi curso:
Dejemos que (X,‖ sea Banach y C\subset X un lugar cerrado y acotado, y convexo. Si f\colon C \to C es un mapa compacto, entonces hay a x_*\in C tal que f(x_*)=x_* .
Recuerdo:
A continuo mapa f\colon C\to C (donde C\subset X ) es compacto si para cualquier secuencia acotada (c_n) en C la secuencia \{f(c_n)\} tiene una subsecuencia convergente.
Esta es mi pregunta:
Si no exijo que f es continua, (es decir, llamo a un mapa f\colon C\to C compacto si para cualquier secuencia acotada (c_n) en C la secuencia \{f(c_n)\} tiene una subsecuencia convergente), ¿se mantiene (mi versión de) el teorema del punto fijo de Schauder?