Conciliación de los aislantes topológicos y el orden topológico

Question

Hacemos una importante distinción entre los aislantes topológicos (que son esencialmente aislantes de banda no correlacionados, "con un giro") y el orden topológico (que abarca una variedad de propiedades exóticas en ciertos estados básicos cuánticos de muchos cuerpos). Los aislantes topológicos son claramente "topológicos" en el sentido de la conectividad del espacio de Hilbert de una sola partícula para un electrón; sin embargo, no son "robustos" del mismo modo que la materia topológicamente ordenada.

Mi pregunta es la siguiente: El orden topológico es ciertamente la situación más general e intrigante, pero la noción de "topología" parece realmente menos explícita que en los aislantes topológicos. ¿Hay alguna manera fácil de conciliar esto?

Quizá un punto de partida podría ser: ¿podemos imaginar un "aislante topológico en el espacio de Fock"? ¿Tendría tal bestia un "entrelazamiento de largo alcance" y un "orden topológico"?

Editar:

Aunque esto ha recibido muy buenas respuestas, quizás debería aclarar un poco lo que estoy buscando; soy consciente de las "definiciones estándar" de los aislantes topológicos (protegidos por la simetría) y del orden topológico y de por qué son fenómenos muy diferentes.

Sin embargo, si hablo con personas no expertas, puedo describir los aislantes topológicos como, más o menos, "las fases de Berry pueden dar lugar a una 'geometría de banda' no trivial, y de forma análoga a Gauss-Bonnet hay una bonita cantidad calculable a partir de esto que caracteriza en cambio la 'topología de banda' y esta cantidad es también físicamente medible" y parecen bastante contentos con esto.

Por otro lado, mientras que la conexión con algo como Gauss-Bonnet podría ser clara para el orden topológico en los "TQFTs" o en la degeneración del estado básico, éstos parecen un poco formales. Creo que mi respuesta favorita es la continuidad adiabática (o la falta de ella) que señaló Everett, pero ahora que lo pienso quizás lo que debería haber preguntado es ¿Cuáles son las geométrico propiedades de los estados con orden topológico del que podríamos deducir el orden topológico con algún tipo de número de Chern (pero sin partir de una teoría de campos de Chern-Simons y poner el correcto a mano ;) ). ¿Hay algo así?

Answer 1

Lo "topológico" en el orden topológico significa "robusto contra CUALQUIER perturbación local".

Según esta definición, el aislante topológico no es "topológico", ya que sus propiedades no son robustas frente a NINGUNA perturbación local, como la perturbación que rompe la simetría U(1) y la inversión del tiempo. Así que un nombre más apropiado para aislante topológico es "aislante protegido por la simetría U(1) y la inversión temporal", que es un ejemplo de orden SPT.

Algunos ejemplos de estados topológicamente ordenados (en el sentido de "robustos frente a CUALQUIER perturbación local"):

1) $\nu=\frac{1}{3}$ Estado FQH

2) $Z_2$ estado líquido de giro

3) $\nu=1$ Estado de IQH

4) $E_8$ estado bosónico QH

Los ejemplos 3) y 4) no tienen cuasipartículas topológicas no triviales (es decir, no hay estadísticas no triviales, ni degeneración topológica no trivial), pero tienen un estado de borde sin huecos que es "robusto contra CUALQUIER perturbación local".

-- Editar -- (He trasladado algunas discusiones de abajo a aquí):

Hay dos tipos de topología en matemáticas. La "topología" en el "orden topológico" está directamente relacionada con el primer tipo de topología en matemáticas, como en la topología algebraica, la homología, la cohomología, la categoría tensorial. La "topología" en el "orden topológico" es diferente de la "topología" en el "aislante topológico". La "topología" en el "aislante topológico" está relacionada con el segundo tipo de topología en matemáticas, como en la clase de mapas, la homotopía, la teoría K, etc. La primera clase de topología es algebraica, mientras que la segunda clase de topología está relacionada con el colector continuo de dimensiones finitas. También podemos decir que la primera clase de topología es "cuántica", mientras que la segunda es "clásica".

La forma correcta de describir cualquier fase con hueco (como los órdenes topológicos y los aislantes topológicos) es utilizar el primer tipo de topología, la topología "cuántica", porque las fases con hueco suelen interactuar. El segundo tipo de topología, la topología "clásica", puede utilizarse para describir la física de un solo cuerpo (incluidos los sistemas de fermiones libres). La topología "clásica" no puede utilizarse para describir sistemas de muchos cuerpos que interactúan, que necesitan una "topología cuántica".

Hay que ir más allá de la imagen del "nivel de energía de relleno" para entender el orden topológico (el primer tipo de topología). Nuestra educación en la física tradicional de la materia condensada (o en la física tradicional de muchos cuerpos) se centra casi exclusivamente en el "llenado de niveles de energía" (como la teoría de los líquidos de Landau Fermi, la teoría de bandas, etc.), lo cual es una trampa que limita nuestra imaginación. El segundo tipo de topología (la "topología" en "aislante topológico") puede entenderse en el marco de la imagen del "nivel de energía de relleno".

Para responder a la pregunta Cuáles son las propiedades geométricas de los estados con orden topológico a partir de las cuales podríamos deducir el orden topológico con algún tipo de número de Chern (pero sin partir de una teoría de campos de Chern-Simons y poner el correcto a mano ;) ). ¿Hay algo así? Me gusta decir que el orden topológico es algebraico, no geométrico. Así que los invariantes topológicos del orden topológico son muy diferentes de los números de Chern. La degeneración robusta del estado básico y las fases geométricas robustas no abelianas de los estados básicos degenerados son los invariantes topológicos del orden topológico (que son los análogos del número de Chern).

Answer 2

Como ha mencionado, los aislantes topológicos (TI) son "topológicos" porque no pueden conectarse suavemente a los aislantes de banda triviales sin cerrar la brecha de banda (y sin romper cierta simetría). Simplemente generalizando esto al caso de muchos cuerpos, podemos decir que los estados topológicamente ordenados se llaman "topológicos" porque no pueden conectarse suavemente al estado del producto trivial sin cerrar la brecha de muchos cuerpos.

Para comprender mejor, hay que saber que la "topología" es un complemento de la "geometría". Por geometría, entendemos que existe un sentido de medición de la distancia y el ángulo, etc., y que la forma y el tamaño del objeto son importantes. Mientras que por topología entendemos que se puede deformar continuamente el objeto, y la forma o el tamaño no importan. Por lo tanto, las propiedades topológicas son aquellas que pueden soportar una deformación continua del estado (por continuidad entendemos sin encontrar una transición de fase cuántica). Para proteger las propiedades topológicas contra la deformación, siempre se requiere una brecha entre los estados básicos y los estados excitados. Por tanto, la propiedad topológica sólo se define para las materias cuánticas con hueco (tanto el TI como el orden topológico están dentro de este ámbito). Por otro lado, las materias cuánticas sin hueco no tienen propiedades topológicas, y sus propiedades son geométricas.

La distinción topológica/geométrica se refleja también en las herramientas matemáticas que utilizamos para estudiar la física. Para las cuestiones cuánticas de gap, utilizamos herramientas topológicas como la homotopía, la cohomología, la teoría K, la teoría de categorías, etc. Para las cuestiones cuánticas sin huecos, utilizamos herramientas geométricas como la teoría de la gravedad (AdS/CFT).

Answer 3

Lo "topológico" en el orden topológico puede referirse a:

• El hecho de que la degeneración del estado básico sea sensible a la topología de la variedad (como menciona Motl).
• La teoría efectiva de baja energía es una Teoría Topológica de Campos.
• Las excitaciones de baja energía son anyones que obedecen a una forma generalizada de estadística de intercambio. Esto entra en el ámbito de la teoría de nudos y temas relacionados, que es bastante "topológico".
• De hecho, estos anyones se entienden mejor como ejemplos de defectos topológicos, en lugar de una simple excitación energética. En el caso del efecto Hall cuántico son vórtices en el líquido Hall cuántico.
• Muchas propiedades del sistema no dependen de los detalles microscópicos (por ejemplo, la conductividad en el caso del efecto Hall cuántico). El sistema es insensible a las perturbaciones locales.
• Estos sistemas se caracterizan por la entropía topológica de entrelazamiento. La entropía de enredo contiene un término que no escala con el tamaño del sistema. Es constante y puede utilizarse para identificar parcialmente el orden topológico.
• El sistema exhibe la dualidad de los bordes de la masa. De nuevo, la forma exacta de la arista es irrelevante.
• En cierto sentido, estos sistemas ordenados topológicamente son tan especiales porque la configuración del estado básico tiene una simetría "mejorada" en comparación con los estados excitados (que rompen el orden topológico).
• El nombre "orden topológico" también muestra la diferencia entre el orden más convencional utilizado en la teoría de Landau-Ginzburg. Los sistemas topológicamente ordenados no pueden describirse mediante el uso de parámetros de orden locales, ya que la teoría efectiva de baja energía no tiene grados de libertad locales.
• El espacio de Hilbert asociado a los anyones tiene cierta no-localidad incorporada. Por ejemplo, una configuración de múltiples anyones no se describe mediante una suma directa de espacios de Hilbert de una sola partícula (una asignada a cada anyón). La dimensionalidad del estado de muchos anyones sigue reglas muy poco triviales (por ejemplo, en el caso de los anyones de Fibonacci, la dimensión del espacio de Hilbert de n partículas crece según la secuencia de Fibonacci cuando introducimos más anyones en el sistema).

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