Lanzamiento de monedas y expectativa condicional

Question

Considere la posibilidad de lanzar una moneda justa repetidamente. Sea $X$ denotan el número de Colas antes de la primera Cara, de modo que $X \sim \text{Geom}(1 / 2)$ . Supongamos que queremos demostrar que $\mathbb{E}[X \mid \text{first toss is Tails]} = 1 + \mathbb{E}[X]$ .

Intuitivamente, si la primera tirada es Cruz, entonces hemos desperdiciado una tirada y estamos de nuevo donde empezamos, por falta de memoria. Por lo tanto, tenemos $\mathbb{E}[X \mid \text{first toss is Tails]} = 1 + \mathbb{E}[X]$ .

También podemos demostrarlo de forma más rigurosa de la siguiente manera: \begin{align*} E[X \mid \text{first toss is Tails}] & = \sum_{k = 0} ^ {\infty} k P(X = k \mid \text{first toss is Tails}) \\ & = \sum_{k = 1}^\infty k P(X = k \mid X \ge 1) \\ & = \sum_{k = 1}^\infty k P(X = (k - 1) + 1 \mid X \ge 1) \\ & = \sum_{k = 1}^\infty k P(X = k - 1) \text{ (by memorylessness property) } \\ & = \sum_{k = 0}^\infty (k + 1) P(X = k) \\ & = \sum_{k = 0}^\infty k P(X = k) + \sum_{k = 0}^\infty P(X = k) \\ & = E[X] + 1 \end{align*}

Ahora supongamos que queremos encontrar $\mathbb{E}[W_{HH} \mid \text{first toss is T}]$ , donde $W_{HH}$ denota el número de lanzamientos hasta $HH$ aparece. Utilizando el mismo argumento intuitivo podemos decir que $\mathbb{E}[W_{HH} \mid \text{first toss is T}] = 1 + \mathbb{E}[W_{HH}]$ . Pero, ¿existe una forma rigurosa de demostrar lo mismo? No podría utilizar un enfoque similar al anterior ya que $W_{HH}$ no es geométrico.

Answer 1

$\newcommand{\PM}{\mathbb P}\newcommand{\E}{\mathbb E}$ No sé si estás esperando esto, pero se puede demostrar la afirmación fácilmente usando la teoría sobre procesos de Markov (tiempo discreto).

Definir la secuencia i.i.d. $(B_k)_{k\geq 0}$ donde $B_k \sim \text{Bernoulli}\left(\frac 1 2\right)$ . Definamos ahora el proceso estocástico bidimensional $X_k$ por: $$X_{k}:= (B_k, B_{k+1})$$ Se trata claramente de una cadena de Markov homogénea.

Definir el siguiente tiempo de golpeo $T$ : $$T:=\inf\{ k \mid X_k = (1,1) \}$$ Ahora, fíjate en que $W_{HH}=T$ . Además, "el primer lanzamiento es T" es equivalente a $X_0 \in U$ donde $U:=\{ (0,0), (0,1) \}$ . Por las propiedades de una cadena de Markov se sabe que (véase este ): $$\E[T\mid X_0 \in U ] = 1+\E[T]$$ que es equivalente a: \begin{align*} \E[W_{HH}\mid\text{ first toss is T } ] = 1+\E[W_{HH}] \end{align*}