Integral difícil que implica $tan^2x$

Question

Cómo podemos evaluar esta difícil integral:

$$\int\frac{\tan^2x}{1-x\tan^2x}dx=\int\frac{1}{\cot^2x-x}dx$$

He intentado usar la integración por partes pero supongo que no funciona con esto.

En el peor de los casos, si esta integral no tiene una fórmula cerrada, ¿cómo podemos $prove$ que no se puede encontrar?

Answer 1

Es interesante observar que sus telescopios integrales, a partir de

$$\int\frac{\tan^2x}{1-x\tan^2x}dx=\int\frac{\tan^2x}{1-x\tan^2x}\frac{(1+x\tan^2x)}{(1+x\tan^2x)}dx$$

A continuación, multiplique la parte superior y la inferior por $1+x^2\tan^4x$ y así sucesivamente. En este proceso el denominador tiende a 1 (suponiendo que la integral está entre los límites de $x=0$ y $x=\pi/4$ ) y el numerador de la serie infinita $S$

$$S=\tan^2 x+x\tan^4 x+x^2\tan^6x+x^3\tan^8x+x^4\tan^{10}x+...$$

Ahora bien, a cualquiera que afirme que hay una bonita forma cerrada que encontrar se le puede dar la tarea de integrar estos términos uno por uno hasta que se agote toda la fe en esta proposición.

Entiendo que esto no es una prueba, pero lo único que pedías era una forma de demostrar la dificultad de esta integral.