Interpretación de $\frac{22}{7}-\pi$

Question

Pruebas integrales y en serie que $\frac{22}{7}>\pi$

Podemos demostrar que $\frac{22}{7}$ supera $\pi$ utilizando la integral de Dalzell $$\int_0^1 \frac{x^4(1-x)^4}{1+x^2}dx=\frac{22}{7}-\pi$$

o su serie equivalente $$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{240}{(4k+1)(4k+2)(4k+3)(4k+5)(4k+6)(4k+7)}=\frac{22}{7}-\pi$$

(ver Series e integrales para desigualdades y aproximaciones a $\pi$ )

Expresiones equivalentes

Esta serie puede escribirse en términos de factoriales, coeficientes binomiales o integrales Beta como $$\begin{align} \frac{22}{7}-\pi &= 3840\sum_{k=1}^\infty \frac{(k+2)!(4k)!}{(4k+8)!k!} \\ &= \frac{4}{21} \sum_{k=1}^\infty \frac{{k+2 \choose 2}}{{4k+8\choose 8}} \\ &= \frac{16}{21} \sum_{k=1}^\infty \frac{B(4k+1,8)}{B(k+1,2)} \end{align} $$ (ver Una serie para probar $\frac{22}{7}-\pi>0$ )

Puede $\frac{22}{7}-\pi$ ¿se puede dar una interpretación combinatoria o probabilística?

Algunas situaciones en las que $\pi$ aparecen son La aguja de Buffon o el probabilidad de que dos enteros al azar sean relativamente primos . Ver también $\pi$ en los fenómenos aleatorios por Boris Gourévitch y Ocurrencias en el cálculo de la probabilidad y la estadística por Mauro Fiorentini.

Answer 1

Aquí hay uno en el espíritu de la aguja de Boufon y el comentario de Jaume que sigue más o menos directamente de la integral de Dalzell.

Deja una lata de sección cuadrada y camina lejos en una dirección aleatoria. Dispara hasta que le des ocho veces. Llamamos a un golpe "correcto" si sale de la lata por la cara opuesta a la que entró. ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente la mitad de los ocho impactos sean correctos?

Digamos que la lata tiene una longitud diagonal 1. Parametriza las posibles orientaciones de la lata con un ángulo $\theta$ que van desde $0$ a $\pi/4$ , donde $0$ corresponde a mirar la lata de canto y $\pi/4$ corresponde a mirarlo de frente. Tenga en cuenta que $\theta$ se distribuye uniformemente. Entonces la anchura aparente del estaño es $\cos \theta$ y la anchura aparente de la región que se necesita para un golpe adecuado es $\sin \theta$ . Por lo tanto, la probabilidad de un acierto correcto es $\sin \theta \, / \cos\theta = \tan \theta$ .

Por lo tanto, la probabilidad de que haya exactamente cuatro aciertos sobre ocho es

$$ \binom{8}{4} \frac1{\pi/4} \int_0^{\pi/4} (\tan \theta)^4(1-\tan\theta)^4\,d\theta \\ = \binom{8}{4} \frac1{\pi/4} \int_0^1 \frac{x^4(1-x)^4}{1+x^2}\,dx \\= \binom{8}{4} \frac1{\pi/4} \left(\frac{22}7 - \pi\right).$$

No se me ocurre una buena razón para esperar a priori que este montaje en particular te dé una buena aproximación racional a $\pi$ pero ahí lo tienes.