Demostrar la fórmula en Lógica de Predicados

Question

Demuestre lo siguiente

$$ \vdash A \land (\exists x) (B \rightarrow C) \equiv (\exists x)(B \rightarrow (A \land C)) $$

siempre y cuando $ x$ no libre en $A$ .

Esta es la pregunta número 9 del capítulo 6 de "Lógica Matemática" de Tourlakis. ¿Cómo puedo demostrarlo?

Answer 1

En primer lugar, debe seguir la pista del ejemplo 9, página 187: "Traduzca primero a la notación estándar".

Las fórmulas se escriben con cuantificadores limitados , siguiendo el estilo de Bourbaki:

$\vdash A \land (\exists x)_B C \equiv (\exists x)_B (A \land C)$ Siempre y cuando $x$ no libre en $A$ .

La fórmula con el cuantificador limitado $(\exists x)_B$ debe reescribirse [véase la página 175] como :

$A \land (\exists x) (B \land C)$ ;

debido a que $x$ no es libre en $A$ podemos aplicar Corolario 6.4.3 [página 174] : $\vdash (\exists x)(A \land B) \equiv A \land (\exists x) B$ para conseguir..:

$(\exists x)[A \land (B \land C)]$ .

Ahora, "reordenamos" el Conjunta [ver Ej. 2.4.22 , página 74 : $\vdash A \land (B \land C) \equiv (A \land B) \land C$ y $\vdash A \land B \equiv B \land A$ --- utilizar Leibniz ] para tener :

$(\exists x)[B \land (A \land C)]$ ,

y esto es (en cuantificador limitado forma) :

$(\exists x)_B (A \land C)$ .