La espiral de Arquímedes

Question

Un punto M se mueve uniformemente sobre una recta ON, que gira con velocidad angular constante alrededor del punto O. Encuentra las ecuaciones de la trayectoria de M.

Answer 1

Si consideramos las coordenadas polares tenemos que: $$\dot{r}=\text{constant}=v$$ Esta es la velocidad radial. Entonces si se integra se obtiene $r=v\cdot t +r_0$ . La velocidad angular también es constante. $$\dot{\theta}=\text{constant}=\omega$$ Por lo tanto, tiene $\theta=\omega\cdot t+\theta_0$ . Se puede convertir a coordenadas cartesianas teniendo eso: $$\vec{x}(t)=\begin{pmatrix} r\cos(\theta)\\ r\sin(\theta)\end {pmatrix}=\begin{pmatrix} (v\cdot t +r_0)\cos(\omega\cdot t+\theta_0)\\ (v\cdot t +r_0)\sin(\omega\cdot t+\theta_0)\end {pmatrix}$$ Si quieres la ecuación que lo describe en el plano también lo sabes: $$x^2+y^2=(vt+r_0)^2$$ $$\frac{x}{y}=\tan\left(\omega t+\theta_0\right)$$ $$\Rightarrow \quad t=\frac{\arctan\left(\frac{x}{y}\right)-\theta_0}{\omega}$$ Como consecuencia, finalmente se consigue: $$x^2+y^2=\left(\frac{v}{\omega}\left(\arctan\left(\frac{x}{y}\right)-\theta_0\right)+r_0\right)^2$$

Answer 2

A el movimiento es uniforme, la posición a lo largo de la recta es una función lineal del tiempo, por lo tanto una función lineal del ángulo.

En coordenadas polares,

$$\rho=\lambda\theta+\rho_0.$$

El coeficiente $\lambda$ mide el desplazamiento a lo largo de la línea correspondiente a una rotación de un radián.

En coordenadas cartesianas,

$$\tan\left(\frac{\sqrt{x^2+y^2}-\rho_0}\lambda\right)=\frac yx,$$ que no puede ser realmente simplificado, o en una forma paramétrica,

$$\begin{cases}x=(\lambda\theta+\rho_0)\cos\theta,\\y=(\lambda\theta+\rho_0)\sin\theta.\end{cases}$$