Hay dos puntos clave detrás del álgebra complicada que se quiere pronosticar. Ambos provienen del hecho de que los grupos se abstrajeron del estudio de las acciones, y de que la mayoría de las construcciones de la teoría de grupos son en realidad casos especiales de construcciones a partir de acciones de grupos (de hecho, los subgrupos normales se definieron en términos de acciones de grupos antes incluso de que se definieran los propios grupos abstractos).
El primer punto clave es que el inverso de un inverso de una cosa debe comportarse como la cosa original, ya que deshacer una acción y el deshacer eso, debe resultar en sólo hacer la acción. Formalmente, las definiciones relevantes son las siguientes.
A magma es un conjunto $M$ junto con una operación binaria, es decir, una función $M\times M\to M$ (que denotaré por yuxtaposición: $(m_1,m_2)\mapsto m_1m_2$ ). Un acción de un magma $M$ en un conjunto $X$ (también llamado $M$ -set) es una función de dos variables $M\times X\to X$ (indicada por $(m,x)\mapsto m\cdot x$ ) y que satisfaga el axioma $(m_1m_2)\cdot x=m_1\cdot(m_2\cdot x)$ . Se supone que la intuición aquí es que los elementos del magma "se mueven alrededor" de los elementos del conjunto de una manera determinada.
Una de las construcciones más importantes en la teoría de las acciones es la del estabilizador de un elemento $x$ de un $M$ -Configurar $X$ . Concretamente, el estabilizador $\DeclareMathOperator{\Stab}{Stab}\Stab(x)$ de $x\in X$ (para una acción de magma $M\times X\to X$ ) se define como $\Stab(x)=\{m\in M\colon m\cdot x=x\}$ (Nota al margen: $\Stab(x)$ es un "submagma": si $m_1,m_2\in\Stab(x)$ entonces $m_1m_2\in\Stab(x)$ ).
Con esto fuera del camino, ahora podemos decir lo que significa para $m'$ para ser un inversa à $m$ , en relación con una acción magmática $M\times X\to X$ . Esto significa que $m'm\in\Stab(x)$ por cada $x$ (es decir $(m'm)\cdot x=m'\cdot(m\cdot x)=x$ ). Del mismo modo, un elemento $e$ es un identidad para la acción si $e\in\Stab(x)$ por cada $x$ es decir $e\cdot x=x$ .
El punto clave del álgebra que se quiere pronosticar es entonces el siguiente. Si $m''$ es un inverso para $m'$ y $m'$ es un inverso para $m$ Entonces, como $m''$ se supone que debe deshacer lo que $m'$ está haciendo, y $m'$ es deshacer lo que $m$ está haciendo, $m''$ debería hacer lo que $m$ está haciendo. En las ecuaciones, $m''\cdot x=m''\cdot (m'\cdot(m\cdot x))=(m''m')\cdot(m\cdot x)=m\cdot x$ por cada $x\in X$ . En particular, dado que $m''$ es un inverso de $m'$ , $m$ debe ser también un inverso de $m'$ y es: sustituir $x$ con $m'\cdot x$ anterior revela que $x=(m''m')\cdot x=m''\cdot(m' x)=(mm')\cdot x$ para que $m$ es efectivamente un inverso (es decir $mm'$ es una identidad).
El segundo punto clave es que un grupo actúa sobre sí mismo de dos maneras: a la izquierda y a la derecha, y que los inversos permiten transferir información de un lado de la acción al otro.
Un magma se llama semigrupo si la operación binaria es asociativa, es decir $(m_1m_2)m_3=m_1(m_2m_3)$ . Esto es lo mismo que exigir que la operación binaria del magma sea a su vez una acción del magma sobre sí mismo, es decir, si ponemos $m_1\cdot m_2:=m_1m_2$ la asociatividad dice que $(m_1m_2)\cdot m_3=m_1\cdot(m_2m_3)$ . Repito: la asociatividad de la operación binaria corresponde a la estructura algebraica que actúa sobre sí misma a través de la operación binaria.
Un semigrupo se llama monoide si hay un elemento $e\in M$ tal que $em=m=me$ por cada $m\in M$ . Llamamos a este tipo de $e$ a identidad de dos caras , mientras que un identidad del lado izquierdo es cualquier elemento $e$ satisfaciendo $em=m$ por cada $m\in M$ es decir, si $e\in\Stab(m)$ por cada $m\in M$ por lo que una identidad para la acción de $M$ en sí mismo. Sin embargo, no podemos expresar fácilmente la idea de que $e$ es un derecho-identidad es decir, que $me=m$ por cada $m\in M$ utilizando la acción obvia de $M$ en sí mismo. Lo que falta aquí es que un semigrupo también tiene una acción contravariante sobre sí mismo. A acción contravariante $M\times X\to X$ satisface $(m_1 m_2)\cdot x=m_2\cdot(m_1\cdot x)$ (mientras que el habitual ( covariante ) satisface la acción $(m_1m_2)\cdot x=m_1\cdot(m_2\cdot x))$ . Pues la asociatividad de un semigrupo dice no sólo que $m_1\cdot_l m_2:=m_1m_2$ define una acción de $M$ en sí mismo, sino que $m_1\cdot_{r}m_2:=m_2m_1$ define una acción contravariante (nota al margen: un semigrupo es conmutativo, es decir $m_1m_2=m_2m_1$ si y sólo si las acciones izquierda y derecha $\cdot_l$ y $\cdot_r$ son la misma acción).
En resumen, un semigrupo es un magma $M$ con una operación asociativa, lo que implica automáticamente que $M$ actúa sobre sí mismo de dos maneras: a la izquierda y a la derecha. Una identidad izquierda es una identidad para la acción izquierda, una identidad derecha es una identidad para la acción derecha, un inverso izquierdo es un inverso para la acción izquierda, y un inverso derecho es un inverso para la acción derecha.
Ahora, es fácil ver cómo la inversión relaciona las acciones de la izquierda y la derecha. Si $m_1'$ y $m_2'$ son inversos a la izquierda para $m_1$ y $m_2$ entonces $m_1'm_2'$ es un inverso de la izquierda para $m_2m_1$ . Además, el inverso de la izquierda de cualquier elemento de $\Stab_l(m)$ también tiene que estar en $\Stab_l(m)$ . Esto implica que los inversos de los elementos en $\Stab_l(m)$ están todas contenidas en $\Stab_r(m')$ para $m'$ un inverso de la izquierda de $m$ . Por último, dado que una identidad izquierda es tautológicamente su propio inverso izquierdo, se deduce que cualquier identidad izquierda ya está contenida en el estabilizador derecho de cualquier inverso izquierdo.
Por lo tanto, basta con demostrar que cada elemento de $M$ es un inverso de la izquierda, lo que se desprende del primer punto clave al saber que todo inverso de la izquierda tiene un inverso de la izquierda, lo que está implícito al exigir que todo elemento tenga un inverso de la izquierda. Por tanto, toda identidad izquierda es una identidad derecha, y todo elemento es a la vez un inverso de la izquierda y de la derecha.
