Dominio de factorización único que no es un dominio ideal Principal

Question

Sea $c$ sea un número entero, no necesariamente positivo y no un cuadrado. Sea $R=\mathbb{Z}[\sqrt{c}]$ denotan el conjunto de números de la forma $$a+b\sqrt{c}, a,b \in \mathbb{Z}.$$ Entonces $R$ es un subring de $\mathbb{C}$ bajo las sumas y multiplicaciones habituales.

Mi pregunta es: si $R$ es un UFD (dominio de factorización único), ¿se deduce que es también un PID (dominio ideal principal)?

Answer 1

La respuesta es sí. El argumento es el siguiente: si $R$ es un UFD, entonces es necesariamente integralmente cerrado en su campo de fracción $K = \mathbb Q(\sqrt{c})$ y, por tanto, es igual al anillo completo de enteros algebraicos en $K$ . Un hecho general acerca de tales anillos completos de enteros algebraicos es que si son UFDs entonces son PIDs, la razón es que en estos anillos, uno siempre tiene la factorización única de ideales distintos de cero en ideales primos, y no es difícil ver que la propiedad UFD obliga a los ideales primos (y por lo tanto cualquier producto de ideales primos) a ser principal.

Answer 2

Sí, porque es fácil demostrar que los anillos numéricos (cuadráticos) tienen dimensión como máximo uno (es decir, todo ideal primo distinto de cero es maximal). Pero $\rm PID$ s son precisamente el $\rm UFD$ s que tienen dimensión $\le 1.\, $ A continuación se presenta un esbozo de demostración de éste y otros resultados estrechamente relacionados.

Teorema $\rm\ \ TFAE\ $ para un $\rm UFD\ D$

$(1)\ \ $ los ideales primos son maximales si son distintos de cero, $ $ es decir $\rm\ dim\,\ D \le 1$
$(2)\ \ $ los ideales primos son principales
$(3)\ \ $ los ideales maximales son principales
$(4)\ \ \rm\ gcd(a,b) = 1\, \Rightarrow\, (a,b) = 1,\, $ es decir $ $ coprimo $\Rightarrow$ comaximal
$(5)\ \ $ $\rm D$ es Bezout, es decir, todos los ideales $\,\rm (a,b)\,$ son principales.
$(6)\ \ $ $\rm D$ es un $\rm PID$

Prueba $\ $ (esbozo de $\,1 \Rightarrow 2 \Rightarrow 3 \Rightarrow 4 \Rightarrow 5 \Rightarrow 6 \Rightarrow 1)\ $ donde $\rm\,p_i,\,P\,$ denotan primos $\neq 0$

$(1\Rightarrow 2)$ $\rm\ \ p_1^{e_1}\cdots p_n^{e_n}\in P\,\Rightarrow\,$ algunos $\rm\,p_j\in P\,$ así que $\rm\,P\supseteq (p_j)\, \Rightarrow\, P = (p_j)\:$ por dim $\le1$
$(2\Rightarrow 3)$ $ \ $ ideales máximos son primos, por lo que principal por $(2)$
$(3\Rightarrow 4)$ $\ \rm \gcd(a,b)=1\,\Rightarrow\,(a,b) \subsetneq (p) $ para todo max $\rm\,(p),\,$ así que $\rm\ (a,b) = 1$
$(4\Rightarrow 5)$ $\ \ \rm c = \gcd(a,b)\, \Rightarrow\, (a,b) = c\ (a/c,b/c) = (c)$
$(5\Rightarrow 6)$ $\ $ Ideales $\neq 0\,$ en Bezout UFDs son generados por un elt con menos factores #primos
$(6\Rightarrow 1)$ $\ \ \rm (d) \supsetneq (p)$ correctamente $\rm\Rightarrow\,d\mid p\,$ correctamente $\rm\,\Rightarrow\,d\,$ unidad $\,\rm\Rightarrow\,(d)=(1),\,$ así que $\rm\,(p)\,$ es max

Observación $ $ Los ejemplos de UFD no PID son fáciles en anillos polinómicos: si $D$ es un dominio no-campo entonces tiene una no-unidad no-cero $d$ así que por aquí el ideal $(d,x)$ no es principal.

Answer 3

Si es un UFD, entonces es integralmente cerrado, por lo que es un dominio Dedekind porque es de dimensión uno (al estar contenido en el cierre integral de $\mathbb{Z}$ en alguna extensión finita de $\mathbb{Q}$ ). Un dominio Dedekind es un UFD si es un PID: de hecho, esto es equivalente a que todo primo distinto de cero sea principal. (Un dominio noetheriano es un UFD si todo primo de altura uno es principal. Por tanto, si un dominio Dedekind es un UFD, entonces todos sus primos son principales, así que por factorización de ideales, todo ideal es principal).

Un ejemplo sencillo de UFD que no es un PID es el anillo polinómico $\mathbb{C}[x,y]$ .