Acción de una 1 forma sobre un vector: cambio de coordenadas - cálculo tensorial

Question

Actualmente intento revisar mi clásico. Podría ayudarme por favor a demostrar :

$$\frac{\partial T^{\prime\mu}}{\partial x^{\prime \alpha}}=\frac{\partial}{\partial x^{\prime \alpha}}\left(\frac{\partial x^{\prime \mu}}{\partial x^{v}} T^{v}\right)$$

es decir, utilizando un cambio de coordenadas entre $x^{\mu}$ y $x^{\prime\mu}$ . $T^{\mu}$ representa las componentes contravariantes de un "vector" (me refiero a un tensor de rango 1).

Esta demostración sería lo mismo que probar :

$$T'^{\mu}\text{d}x^{\nu}=T^{\nu}\text{d}x^{\prime\mu}$$

Cómo justificar esta igualdad si aplico una forma 1 $\text{d}x^{\mu}$ u otra forma 1 $\text{d}x^{\prime\mu}$ en un vector $T$ ?

Answer 1

Esto parece ser un poco complicado. Tienes un cambio de base con transformación de coordenadas $(x')^=C^{}_x^$ . En consecuencia, el tensor contravariante $T$ se transforma en $(T')^=C^{}_T^$ . Ahora calcule las derivadas parciales utilizando la regla de la cadena y $x=C^{-1}x'$ $$ \frac{(T')^}{(x')^}=\frac{(C^{}_T^)}{x^}\frac{x^}{(x')^}=C^{}_\,(C^{-1})^{}_\frac{T^}{x^} $$

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Intentémoslo en un contexto más amplio. ${\bf T}=T^{\bf e}_=T'^{\bf e}'_$ es un campo vectorial en el espacio tangente. Los vectores base son las derivadas de coordenadas ${\bf e}_=\frac{}{x^}$ . En ese sentido se obtiene por la regla de la cadena $$ {\bf e}_=\frac{x'^}{x^}{\bf e}'_ $$ lo que da como resultado $$ T'^=T^\frac{x'^}{x^} $$ Ahora ponga paréntesis alrededor y el operador de la derivada para $x'^$ antes de ella para obtener la fórmula reclamada.

Si el cambio de coordenadas es lineal como en el primer intento, entonces $\frac{x'^}{x^}=C^{}_$ y $$ C^{}_\frac{x^}{x'^}=\frac{(C^{}_x^)}{x'^} =\frac{x'^}{x'^}=\delta_^ \implies \frac{}{x'^} = \frac{x^}{x'^}\frac{}{x^} =(C^{-1})^{}_\frac{}{x^} $$