Ajuste de un polinomio cuadrático de forma especial

Question

Consideremos un polinomio real

$$ f(x) := \sum_{k=0}^n c_k x^k $$

de grado $n$ , donde $c_k \in \mathbb{R}$ son coeficientes constantes. Dado $n+1$ muestras $f_i$ de $f$ en distintos puntos de la muestra $x_i$ se pueden recuperar los coeficientes resolviendo el sistema lineal

$$ f(x_i) = f_i. $$

Bastante fácil. Sin embargo, el problema parece complicarse cuando $f$ tiene una forma especial. Por ejemplo, supongamos que

$$f(x) := (ax-b)^2$$

donde $a,b \in \mathbb{R}$ son ahora los coeficientes desconocidos. Esta función describe una parábola cuyo mínimo es cero, es decir, se "asienta" en el eje x. Dado que este polinomio tiene menos grados de libertad, se podría pensar que se pueden recuperar sus coeficientes utilizando menos muestras -- en particular, se podría pensar que dos muestras serían suficientes (una para recuperar el centro, la otra para recuperar el ancho). Sin embargo, sorprendentemente, el cálculo de estos coeficientes parece más difícil: ahora tenemos que resolver un par de problemas simultáneos cuadrático ecuaciones

$$ (ax_1-b)^2 = f_1 $$

$$ (ax_2-b)^2 = f_2 $$

En realidad, me interesa el caso de que el dominio sea $\mathbb{R}^2$ no $\mathbb{R}$ . En este caso, quiero recuperar los tres parámetros $a$ , $u$ y $v$ del paraboloide isotrópico

$$ g(x,y) := (ax-u)^2 + (ay-v)^2 $$

de tres muestras $(x_i,y_i)$ . De nuevo, parece que tres muestras deberían ser suficientes: dos para el centro y una para el "ancho". Pero hasta ahora no veo ninguna forma de calcular una solución que no sea aplicar el método de Newton (y cruzar los dedos). Incluso en el caso 1D, pedirle a Mathematica una base de Gröbner resulta en un lío peliagudo.

Gracias. :-)

Answer 1

En mi opinión, el problema radica en que sus ecuaciones no son lineales sino polinómicas. Así que el número de ecuaciones que se necesita para resolver un problema de este tipo no es necesariamente el número de incógnitas. En efecto, una ecuación polinómica de grado $n$ en una variable tiene en general $n$ soluciones. Peor aún, las ecuaciones polinómicas con varias variables pueden tener incluso un número infinito de soluciones. Por ejemplo, echa un vistazo a tu primer problema.

$$(ax - b)^2 = f$$

Da $ax - b = \sqrt{f}$ o $ax - b = -\sqrt{f}$ . Así que a partir de sólo dos puntos, se obtienen en general 4 posibilidades diferentes :

$$a = \frac{\epsilon_1 \sqrt{f_1} - \epsilon_2 \sqrt{f_2}}{x_1-x_2}, \quad \quad b = \frac{x_2\epsilon_1 \sqrt{f_1} - x_1 \epsilon_2 \sqrt{f_2}}{x_1-x_2}$$

con $(\epsilon_1)^2 = (\epsilon_2)^2 = 1$ . Sin embargo, si se evalúa en tres puntos diferentes, el polinomio está determinado de forma única, por lo que $(a,b)$ es único hasta un cambio de signo (no podemos hacerlo mejor).

Un problema similar aparece para su segunda ecuación porque

$$(ax-u)^2 + (by-v)^2 = g$$

tiene un número infinito de soluciones reales de la forma $ax-u = \cos(\theta).\sqrt{g}$ , $by - v = \sin(\theta).\sqrt{g}$ con $\theta \in \mathbb{R}$ arbitraria.

Mi sugerencia si quieres resolver este problema es que primero expandas tu polinomio.

$$g(x,y) = a^2 x^2 - 2 a u x + b^2 y^2 - 2 b v y + (u^2 + v^2) = A x^2 + B x + C y^2 + D y + E$$

Calcula $A, B, C, D, E$ tomando cinco puntos diferentes adecuados (por ejemplo, puntos de la forma $(x_i, x_i^3)$ dará lugar a un sistema lineal con una solución única). Entonces es fácil obtener $a, b, u, v$ de $A, B, C, D, E \ $ (una vez más, $(a,u)$ y $(b,v)$ son únicos hasta el cambio de signo).