Galois grupo de un producto de polinomios

Question

¿Cómo puedo calcular el grupo de Galois del polinomio $fg\in K[x]$ suponiendo que yo sepa los grupos de Galois de $f\in K[x]$$g\in K[x]$? Supongamos por simplicidad que el campo $K$ es perfecto.

Answer 1

Deje $L,M$ ser la división de campo de la $f,g$$K$. A continuación, el compositum $LM$ es la división de campo de la $fg$. Ahora tu pregunta se traduce con la ayuda de los principales teorema de galois de la teoría a la siguiente pregunta: ¿Cómo se puede calcular $G$ si se conoce normal subgrupos $N_1, N_2$, los cocientes $G/N_i$ y el hecho de que $G=N_1 N_2$. Esto parece bastante difícil para mí en general.

Answer 2

Aquí usted puede encontrar la prueba de $Gal(E_1 E_2) = Gal(E_1) \times_{Gal(E_1 \cap E_2)} Gal(E_2)$ y un ejemplo de cómo esto puede ser usado para calcular el grupo de Galois de un producto de dos polinomios.