El uso del teorema del resto en el teorema de Pitágoras da resultados absurdos.

Question

Al principio, me disculpo por el título. Realmente no pude encontrar nada mejor que esto.

Ahora, sabemos que algunos enteros $a,b,c$ (ninguno de ellos es $0$ ) se puede encontrar para que $$a^2 = b^2 + c^2$$ Ahora, aquí, por supuesto $a>b$ . Así que, déjalo, $$a = b + k $$ donde $k$ es un número entero.

Así que, $$(b+k)^2=b^2+c^2\\\Rightarrow b^2 + 2bk +k^2 = b^2+c^2\\\Rightarrow2b=\frac{c^2-k^2}{k}$$ Ahora, déjalo, $$c^2-k^2=f(k)$$ Así que, como $b$ es un número entero, $f(k)$ debe ser divisible por $$k=k-0$$ Entonces, según el teorema del resto, $f(0)$ debe ser $0$ .

PERO, $$f(0)=c^2-0^2=c^2\neq 0 (!!!)$$ que también concluye que puede beno $a,b,c$ para lo cual $a^2=b^2+c^2 $ (!!!)

Realmente no puedo entender lo que he hecho mal aquí? Se agradecería mucho alguna ayuda.

Answer 1

Su error está en decir que $f(k)$ se define para cada $k$ . No se puede decir eso.

Si usted definir $f$ como $f(k)=c^2 - k^2$ Sólo se puede hacer eso si ya ha fijado el valor de $c$ y una vez que arreglas $c$ la función $f(k)$ se determina para cada valor de $k$ . De hecho, entonces, $f(0)$ es igual a $c^2$ por definición.

Por otro lado, si se parte de los triples pitagóricos, también se puede decir que $f(k)$ se define como $c^2 - k^2$ en el que se elige $c$ de tal manera que exista un número entero tal $b$ tal que $(b+k)^2 + b^2=c^2$ . Pero en este caso,

• no tiene ninguna base para afirmar que la función $f$ sería igual a $c^2 - k^2$ para algunos fijos $c$ (de hecho, ha demostrado que no es así)
• ni siquiera sabes si $f$ está bien definida para todos los valores de $k$ y, de hecho, es no definido para ciertos valores. Ciertamente, no está definido para $k=0$ por ejemplo.

Answer 2

Deberías haber determinado el dominio de la función antes de probar su valor para cualquier argumento específico.

$f(0)$ es simplemente indefinido - no existe, ya que $k=0$ significa $a=b$ , lo que implica $c=0$ y eso contradice tus suposiciones iniciales.