Demostrando a que la derivada existe en cada $x$ pero no es continua en $x=0$

Question

Así que la pregunta es la siguiente:

Dejemos que $f(x)=x^2\sin(1/x)$ si $x\not=0$

demostrar que $f'(x)$ existen en cada $x$ pero $f'$ no es continua en $x=0$ .

No sé muy bien cómo mostrarlo.

Normalmente mostraría que cuando x se acerca a 0 desde cualquier lado tendrá límites diferentes, pero claramente no es el caso aquí.

¡Toda ayuda es bienvenida!

Answer 1

La afirmación correcta es algo así:

La función $$ f(x)=\left\{ \begin{array}{c} x^2\sin(\frac{1}{x}), \ \ x\neq 0 \\ 0, \ \ x=0 \end{array} \right. $$ es diferenciable en todas partes y (por tanto) continua en todas partes.

Su derivada (utilice el producto + la regla de diferenciación en cadena para $x\neq 0$ y aplicar la definición de la derivada en $x=0$ ) es: $$ f'(x)=\left\{ \begin{array}{c} 2x \sin(\frac{1}{x})-\cos(\frac{1}{x}), \ \ x\neq 0 \\ 0, \ \ x=0 \end{array} \right. $$ que es discontinua en $x=0$ . (el límite de la rama superior para $x\rightarrow 0$ no existe).

P.D: He aquí un rápido argumento para demostrar por qué $$\lim_{x\rightarrow 0}f'(x)=\lim_{x\rightarrow 0}\big(2x \sin(\frac{1}{x})-\cos(\frac{1}{x})\big)$$ no existe: Supongamos que el límite existe y es un número real $l$ : $$\lim_{x\rightarrow 0}f'(x)=\lim_{x\rightarrow 0}\big(2x \sin(\frac{1}{x})-\cos(\frac{1}{x})\big)=l\in\mathbb{R}$$ Así: $$ \cos(\frac{1}{x})=2x \sin(\frac{1}{x})-f'(x), \ \ \ \ x\neq 0 $$ y como $\lim_{x\rightarrow 0}x \sin(\frac{1}{x}\big)=0$ (recuerda que: $0\times bounded = 0$ ), después de tomar los límites en $x\rightarrow 0$ de ambos lados de la última ecuación a la que llegamos: $$ \lim_{x\rightarrow 0}\cos(\frac{1}{x})=-l\in\mathbb{R} $$ lo cual es claramente absurdo, ya que es bien sabido (y casi evidente) que el $\lim_{x\rightarrow 0}\cos(\frac{1}{x})$ no existe.

Answer 2

sugerencia

Para $x\ne 0$ ,

$$f'(x)=2x\sin (1/x)-\cos (1/x) $$

$\lim_0 2x\sin (1/x)=0$

$\lim_0 \cos (1/x) $ no existe.

así que $\lim_0 f'(x)$ no existe.

Answer 3

Ya hay varios comentarios y respuestas útiles, pero quiero señalar esta línea:

Por lo general, utilizaría mostrar que cuando $x$ se acerca a $0$ desde cualquier lado it tendrán límites diferentes, pero es evidente que este no es el caso.

Cuidado con los pronombres Lo que quieres decir con it ¿Aquí? Basado en lo que escribes a continuación, parece que estás buscando $$ \lim_{x\to 0} x^2 \sin(1/x) = \lim_{x\to 0} f(x) $$ Tienes razón en que su límite existe (es igual a cero). Pero eso sólo te dice que la función es continua en $0$ .

Quieres mostrar $f'(x)$ no es continua en $0$ . Eso significa que estás viendo el límite $$ \lim_{x\to 0} f'(x) $$ Una vez calculado lo que $f'(x)$ se aleja de cero, verás por qué el límite anterior no existe.