Demuestra que $f(x,y)=2x-y$ es uniformemente continua

Question

Demostrar que $f(x,y)=2x-y$ es uniformemente continua en $\mathbb{R^2}$ . Utiliza la definición. ¿Cómo puedo hacer esto usando sólo la definición de continuidad uniforme?

Answer 1

Dejemos que $\epsilon>0$ y $x,y,a,b\in \mathbb{R}$ . Queremos $$\left|f(x,y)-f(a,b)\right|<\epsilon\implies \left|2x-y-2a+b\right|<\epsilon$$ Porque $$\left|2x-y-2a+b\right|\le 2\left|x-a\right|+\left|y-b\right|$$ es suficiente $$2\left|x-a\right|+\left|y-b\right|<\epsilon$$ cuando $$\left|(x-a,y-b)\right|<\delta\implies\left|x-a\right|<\delta\text{ and }\left|y-b\right|<\delta$$ Elección de $\delta=\frac{\epsilon}{3}>0$ hará el truco. Porque $\delta$ no depende de $x,y,a,b$ la continuidad es uniforme