¿Existen infinitos primos de la forma $2^k-1$ ?

Question

Esta pregunta se me ocurrió cuando di con las soluciones de la siguiente ecuación: $\sigma(n)=2n$ , donde $\sigma(n)$ es la suma de todos los divisores positivos de $n$ . Ahora se puede demostrar fácilmente que si $2^k-1$ es un número primo, entonces $n=2^{k-1}(2^k-1)$ satisface la ecuación. Así que decidí buscar todos los valores $1\leq k\leq 100$ tal que $2^k-1$ es un primo y obtuve el siguiente resultado:

2 a la potencia 2= 3 es primo.

2 a la potencia 3= 7 es primo.

2 a la potencia 5= 31 es primo.

2 a la potencia 7= 127 es primo.

2 a la potencia 13= 8191 es primo.

2 a la potencia 17= 131071 es primo.

2 a la potencia 19= 524287 es primo.

Me parece que tal vez los números primos de esta forma sean finitos, pero me gustaría ver lo contrario.

Answer 1

Es bastante fácil demostrar que el exponente tiene que ser un primo (aunque no es suficiente), entonces los primos de esa forma se llaman primos de Mersenne. Como es más fácil comprobar su primalidad que muchos otros números enormes, el Gran búsqueda de primos Mersenne en Internet existe para encontrar enormes primos de Mersenne, y durante bastante tiempo ha tenido el récord del mayor primo conocido, el récord actual es $2^{74207281}-1$ .

No se sabe si hay infinitos, pero hasta ahora se encuentran nuevos primos con regularidad, y creo que la mayoría de los matemáticos apostarían (si se les presiona, a la mayoría probablemente no le importa) a que hay infinitos.