Demostración de una propiedad de la norma sobre un conjunto de funciones continuas

Question

Estoy tratando de demostrar que $||f||:=\sqrt{\langle f,f \rangle}$ , donde $\langle f_1,f_2 \rangle:=\int_{-\pi}^{\pi} f_1(t)\ \overline{f_2(t)}dt$ es una norma sobre el conjunto de funciones continuas, $C([-\pi,\pi],\mathbb{C})$ .

Ahora, he probado eso: $||f||\geq 0$ , $||f||=0 \Leftrightarrow f=0$ , $||\lambda f||=|\lambda|\cdot||f||$ pero estoy atascado en el restante:

$||f_1+f_2||=\sqrt{\int_{-\pi}^{\pi}(f_1+f_2)(t)\ \overline{(f_1+f_2)}(t)\ dt}=\sqrt{\int_{-\pi}^{\pi}[|f_1(t)|^2+|f_2 (t)|^2+f_1(t)\overline{f_2(t)}+\overline{f_1(t)}f_2(t)]\ dt}$ . ¿Cómo puedo demostrar que $||f_1+f_2||\leq ||f_1||+||f_2||$ ?

Answer 1

La clave es que el producto interior satisface Cauchy-Schwarz. Se tiene $$\begin{align} \|f_1+f_2\|^2=\langle f_1+f_2,f_1+f_2\rangle&=\|f_1\|^2+\|f_2\|^2+2\text{Re}\,\langle f_1,f_2\rangle\\ \ \\ &\leq \|f_1\|^2+\|f_2\|^2+2\|f_1\|\,\|f_2\|=(\|f_1\|+\|f_2\|)^2. \end{align}$$ El argumento funciona para cualquier producto interno sesquilíneo.