Si $\displaystyle \lim_{x \to \infty} f(x)=L$ et $\displaystyle \lim_{x \to \infty} f'(x)$ existe, entonces $\displaystyle \lim_{x \to \infty}f'(x)=0$

Question

Utilizando la contradicción, demostré la siguiente afirmación:

Si $\displaystyle \lim_{x \to \infty} f(x)=L$ et $\displaystyle \lim_{x \to \infty} f'(x)$ existe, entonces $\displaystyle \lim_{x \to \infty}f'(x)=0$

Me gustaría saber si hay un enfoque más estándar, ya que el mío parece un poco desordenado.

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Supongamos que $\displaystyle \lim_{x \to \infty} f'(x)=K \neq 0$ . WLG, asume $K \gt 0$ . Por supuesto, sabemos que hay un $N_{f',\frac{K}{2}}$ tal que para cualquier $x \in \left(N_{f',\frac{K}{2}}, \infty\right)$ tenemos $|f'(x)-K| \lt \frac{K}{2}$ , lo que significa que $f'(x) \gt \frac{K}{2} \gt 0$ $\quad (\dagger)$ .

Por lo tanto, para cualquier $x_2,x_1 \in \left(N_{f',\frac{K}{2}}, \infty\right)$ podemos aplicar el Teorema del Valor Medio en el intervalo continuo $[x_1,x_2]$ ...el intervalo es continuo porque $f'(x_1)$ et $f'(x_2)$ están necesariamente definidos. El MVT y el $(\dagger)$ muestran que para algunos $x^* \in (x_1,x_2)$ : $\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} = f'(x^*) \gt \frac{K}{2}$ lo que implica que $f(x_2) \gt \frac{K}{2} (x_2-x_1)+f(x_1) $ . En particular, esto demuestra que $f(x_2) \gt f(x_1)$ .

A continuación, por $(\dagger)$ sabemos que si nos alejamos lo suficiente hacia la derecha, $f'$ tiene un valor mínimo positivo de $\frac{K}{2}$ . Esto significa que si nos alejamos lo suficiente, podemos encontrar un $c$ tal que $f(c) \gt L$ . Para ver esto, elija cualquier $x \in \left(N_{f',\frac{K}{2}}, \infty\right)$ . Este es un valor de referencia. A continuación, resuelva la siguiente ecuación para $c$ : $\frac{K}{2}(c-x)+f(x)=L$

Por último, considere $\varepsilon = f(c)-L$ . Por supuesto, hay un $N_{f,\varepsilon}$ tal que para cualquier $x \in \left(N_{f,\varepsilon},\infty \right)$ tenemos que $|f(x)-L| \lt f(c) - L\quad (\dagger \dagger)$ .

Dejemos que $N = \max(N_{f,\varepsilon},c)$ . Considere cualquier $z \in (N, \infty)$ . Cabe destacar que $z \gt c$ . Por $(\dagger)$ tenemos que $f(z) \gt \frac{K}{2}(x-c)+f(c)$ lo que implica que $f(z) \gt f(c)$ .

Sin embargo, al $(\dagger \dagger)$ sabemos que $|f(z)-L| \lt f(c)-L$ pero esto implica que $f(z) \lt f(c)$ una contradicción. $\quad \square$

Answer 1

Se podría aplicar el teorema del valor medio en un intervalo de la forma $[x, x+1]$ . Esto garantiza la existencia de un $\xi_x \in (x, x+1)$ tal que $f'(\xi_x) = f(x+1)-f(x)$ . Dado que el límite de $f'(x)$ existe en el infinito obtenemos que $\lim_{x\to \infty} f'(x)=0$ tomando los límites de ambos lados y observando que $\xi_x \to \infty$ como $x\to \infty$ .