Todo grupo abeliano de orden $9p^2$ donde $p\equiv 2\bmod 3$ se puede escribir como el producto directo de dos subgrupos cíclicos.

Question

Dejemos que $G$ un grupo abeliano de orden $9p^2$ , donde $p$ es un primo impar tal que $p\equiv 2\bmod 3$ Tengo que demostrar que $G$ puede escribirse como el producto directo de dos subgrupos cíclicos. En este caso, sé que $G$ admite un único subgrupo de orden $p^2$ . ¿Puede el teorema de la estructura ayudar en este caso?

Answer 1

Lo único que se necesita aquí es el teorema de clasificación de los grupos abelianos finitamente generados y el hecho de que, si $\text{gcd}(n,m)=1$ entonces $C_n\times C_m\cong C_{nm}$ , donde $C_n$ denota el grupo cíclico de orden $n$ .

Desde $\text{gcd}(3,p)=\text{gcd}(3,p^2)=1$ tenemos que $C_{3p}\cong C_3\times C_p$ et $C_{3p^2}\cong C_3\times C_{p^2}$ .

Por el teorema de clasificación, los posibles grupos son:

1. $C_{9p^2}\cong C_9\times C_{p^2}$ ya que $\text{gcd}(9,p^2)=1$ (por qué: divisores de $9$ son $1,3,9$ . como hemos mencionado, $3$ no divide $p^2$ . Si $9$ divide $p^2$ entonces también lo hace $3$ que no es cierto, por lo que el único divisor común es 1)
2. $C_9\times C_{p^2}$ No hay nada que hacer aquí.
3. $C_9\times C_p\times C_p\cong C_{9p}\times C_p$ desde $\text{gcd}(9,p)=1$ (¿por qué?)
4. $C_3\times C_3\times C_{p^2}\cong C_3\times C_{3p^2}$ por nuestra observación
5. $C_3\times C_3\times C_p\times C_p\cong C_{3p}\times C_{3p}$ por nuestra observación