¿Cuál es el tamaño de la categoría de los espacios vectoriales de dimensión finita F_q?

Question

El tamaño de un esqueleto finito de categoría C en el sentido de Leinster se define de la siguiente manera: Etiquetar los objetos de C con los números enteros 1,2,...,n y dejar que un _ij ser el número de morfismos de i a j (para i y j entre 1 y n). El El tamaño (o la característica de Euler) de C se define como la suma de las entradas del inverso de la matriz nxn A=(a _ij ), si existe el inverso.

Que F _q ser un campo finito con elementos q. Por cada número natural i, hay hasta el isomorfismo exactamente una F _q -espacio vectorial V _i de la dimensión i. El número de mapas lineales de V _i a V _j es igual a q ij . Ignoramos el espacio vectorial de dimensión cero V ₀ . Considere la matriz infinita

Q=(q ij )

donde las filas y columnas están indexadas por números enteros positivos 1,2,3,... A partir de ahora tratemos q como un parámetro formal, no nos preocupemos por las cuestiones de convergencia, y establezcamos v=q -1 .

¿Hay una noción de un inverso de Q? (Las entradas probablemente serán series de poder formales en v.) Si la respuesta es afirmativa, ¿qué es una forma cerrada para la suma de las entradas del inverso (como una serie de potencia formal en v), es decir, el tamaño de la categoría de dimensión finita F _q -espacios vectores?

Al menos cada truncamiento Q _n de Q a una esquina nxn superior izquierda tiene un inverso para cada n entero positivo, ya que Q _n es una matriz de Vandermonde. ¿Cuál es el límite de la suma de las entradas de Q _n -1 como n va al infinito? Creo que la respuesta es una serie de poder en v. ¿Hay una forma explícita?

¿Cómo puedes interpretar la respuesta? ¿Es la característica de Euler de algunos módulos del espacio? ¿Es igual o está relacionado con una suma de 1/Gl(V _i )? ¿Pasa algo interesante en q=1?

Answer 1

(Edición: lo siguiente debería ser un comentario después del "Reid, ¿qué significa eso?" de Philipp, no una respuesta. Aunque no veo cómo cambiarlo ahora. Edición adicional: He añadido una adivinanza a una respuesta).

Báez y Dolan tienen una noción de la cardinalidad de un grupo. Eliges un objeto a _i de cada clase de isomorfismo, y definir la cardinalidad a ser

\sum _i 1/pedir(Aut(a) _i )).

Por ejemplo, si E es el grupo de conjuntos y bijecciones finitas, entonces tienes que elegir un conjunto de i-elementos a _i para cada número natural i; luego Aut(a) _i ) = S _n y la cardinalidad es e. Ver su artículo "De los conjuntos finitos a los diagramas de Feynman".

La cardinalidad de un grupúsculo finito es la misma que su característica de tamaño/anciano en mi sentido. (Y puedes probar tu suerte extendiéndote al caso infinito.) Supongo que Reid estaba señalando que dada una categoría arbitraria C, no necesariamente un groupoide, hay dos números asociados a él: i) la característica de Euler de la propia C, ii) la cardinalidad del groupoide subyacente de C. Estos son en general diferentes (por ejemplo, consideremos la categoría de dos objetos que consiste en una sola flecha). Supongo que la razón por la que Reid hizo su comentario fue su penúltima pregunta: "¿Es igual o está relacionado con una suma de 1/Gl(V _i )?"

En cuanto a su pregunta principal, hay una débil evidencia de que la respuesta es 1. Aquí está el argumento.

Es un teorema (en el documento que cita) que cuando se tiene un adjetivo entre un par de categorías finitas, y se definen sus dos características de Euler, entonces sus características de Euler son iguales. También es un teorema que cuando dos categorías son equivalentes, el CE de una se define si el CE de la otra lo es, y entonces son iguales. Por último, es un teorema que si una categoría tiene un objeto terminal entonces su EC, si se define, es 1.

Ahora, su categoría es equivalente a la categoría C de los espacios vectoriales no triviales de dimensiones finitas sobre F _q . La adicción habitual entre espacios y conjuntos vectoriales se limita a una adicción entre C y la categoría S de conjuntos finitos no vacíos. Además, S tiene un objeto terminal. Así que si los tres teoremas descritos se extienden (en cierto sentido) a categorías infinitas, entonces el EC de su categoría es 1.

No estoy seguro de que sea la respuesta correcta, y contradice la sugerencia de Qiaochu Yuan. Si la CE (o más precisamente el límite que usted menciona) es no 1, entonces es interesante, porque implicaría alguna diferencia en el comportamiento entre las categorías finita e infinita.

Finalmente, preguntas: "¿Cómo puede uno interpretar la respuesta? No creo que pueda decir mucho sobre la interpretación de este caso en particular. Pero en general se puede pensar en la característica de Euler de una categoría C como lo mismo que la característica de Euler de su nervio NC (un conjunto simplificado), o su espacio clasificador BC (la realización geométrica de NC). Por supuesto, no todos los espacios topológicos tienen una característica de Euler bien definida, por lo que los teoremas de este tipo están sujetos a algunas hipótesis. El resultado de las adjeciones mencionadas anteriormente es del tipo "si los espacios son equivalentes a la homotropía, entonces sus características de Euler son iguales".

Answer 2

A partir de las observaciones realizadas en los comentarios se puede calcular la suma de las entradas de Q _n -1 . Resulta que la fórmula de Kevin Costello es verdadera para cada n.

Deje (a ₁ , a ₂ , ..., a _n ) sea la transposición de la k th vector de la columna de Q _n -1 . (Por supuesto, este vector depende de k, pero omitimos el índice k.) Qiaochu Yuan sugirió considerar el polinomio

A(x) = a ₁ x + a ₂ x 2 + ... + a _n x n .

El grado de A es n, por lo tanto A está determinado por valores en n+1 puntos. Pero sabemos que A(0)=0 y que

A(q) i ) = delta _ik para i = 1, 2, ... , n.

Por interpolación de Lagrange, A(x) es igual a

x(x-q)(x-q) 2 )...(x-q k-1 )(x-q k+1 )...(x-q n ) / q k (q k -q)(q k -q 2 )...(q k -q k-1 )(q k -q k+1 )...(q k -q n ).

La suma a ₁ +a ₂ +...+a _n es igual a A(1). Trabajemos con números enteros cuantificados. Utilizamos la notación [k] = (1-q k )/(1-q) = 1+q+...+q k-1 . (Nótese que la gente de los grupos cuánticos a veces usan una convención diferente.) Además, dejemos que [n elegir k] sea el coeficiente binomial cuantificado. Entonces, A(1) es igual a

(-1) k-1 [n elige k] q k(k-1)/2-kn .

Sumamos A(1) sobre todo k. Una variante de la teorema del binomio cuántico da que la suma de las entradas de Q _n -1 es igual a 1 - (1-1/q)(1-1/q) 2 )...(1-1/q n ).