Existencia de un tipo de complejo simplicial

Question

Quiero demostrar que la siguiente proposición es falsa:

Existe un complejo simplicial finito de 2 dimensiones homológicamente trivial $\mathcal K$ tal que cada arista (simplex de 1 dimensión) tiene al menos 3 caras adyacentes (simplex de 2 dimensiones)

Probando con algunos ejemplos noto que si cada arista tiene 3 caras adyacentes el complejo no es trivial pero no sé cómo demostrar la proposición.

Answer 1

Obsérvese que la condición dada implica que el número de aristas $e$ es menor o igual que el número de caras $f$ .

La cadena $\mathbb{Z}^f\rightarrow\mathbb{Z}^e\rightarrow\mathbb{Z}^v$ da homología trivial si el primer mapa es inyectivo y la imagen del primer mapa es el núcleo del segundo mapa. Dado que $e\leq f$ y el primer mapa es inyectivo, la imagen es entera $\mathbb{Z}^e$ por lo que el segundo mapa debe ser el mapa cero. ¿Puedes ver por qué esto es imposible?

Answer 2

Pista: Piensa en lo que puedes decir sobre la característica de Euler de $\mathcal{K}$ .

A continuación se oculta una prueba completa.

Diga $\mathcal{K}$ tiene $V$ vértices, $E$ bordes, y $F$ caras. Consideremos el conjunto $S$ de pares $(a,b)$ donde $a$ es una cara y $b$ es una arista límite de $a$ . Como cada cara tiene tres aristas límite, $|S|=3F$ . Pero como cada arista está en el límite de al menos $3$ caras, $|S|\geq 3E$ . Así, $F\geq E$ . Ahora la característica de Euler de $\mathcal{K}$ es $$V-E+F\geq V.$$ Desde $\mathcal{K}$ es $2$ -tiene al menos una cara y, por tanto, al menos $3$ vértices. Por tanto, la característica de Euler de $\mathcal{K}$ es al menos $3$ y, en particular, mayor que $1$ por lo que la homología de $\mathcal{K}$ no puede ser trivial.