¿Cómo puedo tomar la derivada de una función $$f(x) = \langle x,x \rangle=x^{T}x?$$ La respuesta parece ser $2x$ pero no sé cómo mostrarlo explícitamente más allá de decir "hay $2 x$ se está operando así que solo hay que quitar la potencia dos y tenemos una $x$ sobrante, es decir, la regla de la potencia". No sé cómo obtener la derivada de $$x^{T}Ax$$ de esto tampoco. ¿Es sólo $2Ax$ ?
Respuesta
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Tenemos $$\def\\#1{{\bf#1}} \\x^T\\x=x_1^2+\cdots+x_n^2$$ y así $$\nabla(\\x^T\\x)=\frac{\partial}{\partial x_1}(\\x^T\\x)\\e_1+\cdots+\frac{\partial}{\partial x_n}(\\x^T\\x)\\e_n =2x_1\\e_1+\cdots+2x_n\\e_n =2\\x\ .$$ Es fácil comprobarlo en el $2\times2$ caso que $$\nabla(\\x^TA\\x)=(A+A^T)\\x\ ,$$ y si $A$ es simétrico (lo que puede ser el caso en este tipo de problema) esto se simplifica a $2A\\x$ . Si $n>2$ el mismo resultado es cierto aunque un poco más complicado de confirmar.
