¿Se puede construir cualquier n-gon si también se permite la trisección de ángulos?

Question

Supongamos que se nos pide que construyamos un $n$ -gon, pero con una operación extra permitida además de las estándar de compás y arista recta: trisección de cualquier ángulo.

• ¿Son todos $n$ -¿Gones construibles ahora?

• Si no, ¿cuáles no lo son?

¿Qué otras operaciones debemos añadir a nuestra "caja de herramientas" para poder construir $n$ -gones para todos $n$ ? Por supuesto, supongo que permitir $n$ -sección de ángulos para todos los enteros $n$ lo haría fácil, pero ¿se puede hacer con menos?

Answer 1

Lo que puedes hacer si tienes un trisector de ángulos:

1. Construir una regularidad $n$ -gon cuando n no tiene factores primos mayores que 3.

2. Construir una regularidad $n+1$ -gon para cualquiera de los valores anteriores de $n$ si $n+1$ es primo. Tales primos se llaman primos de Pierpont.

3. Construir una regularidad $m$ -gon cuando $m$ es un producto de distintos primos de Pierpont, una potencia de 2 y una potencia de 3. Las potencias de 2 y 3 podrían ser $a^0 = 1$ .

Por ejemplo $13 =12+1$ es un primo de Pierpont, así que eso es bueno, pero $11$ no se ajusta a ninguna de las posibilidades dadas anteriormente. (El regular $11$ -gon puede construirse con la herramienta más poderosa de neusis; actualmente es el único primo conocido cubierto por neusis pero no por las herramientas euclianas más el trisector de ángulos solo).