Las subcategorías reflexivas y coreflectivas dan lugar a funtores idempotentes.

Question

Para un par $(\mathcal{X},\mathcal{Y})$ de subcategorías completas de una categoría abeliana $\mathcal{C}$ supongamos que el functor de inclusión $i:\mathcal{X} \to \mathcal{C}$ tiene un functor adjunto derecho $R: \mathcal{C} \to \mathcal{X}$ Aquí estamos diciendo que $\mathcal{X}$ es una subcategoría coreflectiva de $\mathcal{C}$ entonces el functor $iR:\mathcal{C} \to \mathcal{C}$ es idempotente.

Lo que necesito demostrar es que para cada objeto $C \in \mathcal{C}$ y todo morfismo $f \in \mathcal{C}$ tenemos que $(iR)^{2}=(iR)(iR)(C)=(iR)C$ y $(iR)^{2}=(iR)(iR)(f)=(iR)f$ pero estoy bastante atascado probando esto directamente.

Por dualidad también podemos formular que para la inclusión $j:\mathcal{Y} \to \mathcal{C}$ tenemos un functor adjunto izquierdo $L:\mathcal{Y} \to \mathcal{C}$ entonces $jL:\mathcal{C} \to \mathcal{C}$ es también un functor idempotente.

Answer 1

No podrás demostrarlo, lo mejor que puedes conseguir es $(iR)^2\cong iR$ .

De hecho, la cuestión es que el país $\epsilon : iR\to id$ se convierte en un isomorfismo si se compone con $iR$ : $iR\epsilon : (iR)^2\to iR$ es un isomorfismo.

Esto no es difícil de demostrar. Sin embargo, lo haré para el caso dual, ya que estoy más acostumbrado.

De hecho, la mejor afirmación es que el país $\epsilon: Lj\to id$ es un isomorfismo.

La prueba es fácil: tienes un mapa $LjY\to Y$ para cualquier $Y\in \mathcal Y$ así que por el lema de Yoneda, para demostrar que es un isomorfismo sólo hay que demostrar que para cualquier $Y'\in\mathcal Y$ , $\hom(Y,Y')\to\hom(LjY,Y')$ es un isomorfismo.

Pero esto último es $\cong \hom(jY,jY')$ por adjunción, y se puede comprobar fácilmente que el mapa compuesto $\hom(Y,Y')\to \hom(LjY,Y')\to \hom(jY,jY')$ es sólo la aplicación del functor $j$ .

Pero $j$ es totalmente fiel, por lo que este mapa compuesto es un isomorfismo: hemos terminado.

(otra forma de expresarlo es utilizar la fidelidad total para demostrar que $jY\to jY$ tiene la propiedad universal de $jLjY\to jY$ )

Desde $\epsilon : Lj\to id$ es un isomorfismo, se puede utilizar la identidad del triángulo para demostrar que $L\eta$ y por lo tanto $jL\eta : jL\to (jL)^2$ es un isomorfismo, que es la doble afirmación (de hecho, $\eta jL$ también será un isomorfismo)

Answer 2

Desde $i:\mathcal X\hookrightarrow\mathcal C$ es un functor totalmente fiel, la unidad de la adjunción $i\dashv R$ da un isomorfismo natural $\operatorname{Id}_{\mathcal X}\cong R\circ i$ . En consecuencia, $i\circ R\circ i\circ R\cong i\circ\operatorname{Id}_{\mathcal X}\circ R=i\circ R$ . Obsérvese que esto es válido para categorías arbitrarias.