¿Por qué son abundantes los ciclos cohomológicamente triviales?

Question

Supongamos que X es una variedad proyectiva suave, digamos sobre $\mathbb{Q}$ para simplificar. Sea $F$ sea una extensión finita de $\mathbb{Q}$ . Sea $\mathrm {Ch}^{r}(X/F)$ denotan el grupo de Chow de codimensión $r$ ciclos algebraicos definidos sobre $F$ . Una conjetura de Tate afirma que el mapa de clase de ciclo de $\mathrm{Ch}^r(X/F)$ a $H^{2r}_{et}(X)(r)$ es inyectiva, con imagen en el subespacio fijado por $\mathrm{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/F)$ . En particular, la dimensión de $\mathrm{Ch}^r(X/F)$ debe estar uniformemente acotado (por la $2r^{\mathrm{th}}$ Número de Betti de $X(\mathbb{C})$ ) como $F$ varía.

Por otro lado, dejemos que $\mathrm{Ch}^{r}(X/F)_0$ denotan el núcleo del mapa de clases de ciclos, es decir, el grupo de ciclos homológicamente triviales de codimensión $r$ módulo de equivalencia racional. La dimensión de este tipo es predicha por Beilinson y Bloch como el orden de fuga de $L(s,H^{2r-1}(X/F))$ en su punto crítico central. Ahora bien, se puede hacer que el orden de desaparición de esta función L aumente muy rápidamente como $F$ varía; por ejemplo, uno podría (en algunas circunstancias) elegir $F$ sea una extensión abeliana tal que cada uno de los giros $L(s,H^{2r-1}(X/\mathbb{Q})\times \chi)$ tiene número de raíz $-1$ para $\chi$ variando sobre los caracteres de $\mathrm{Gal}(F/\mathbb{Q})$ . Cuando $X$ es una curva elíptica y $r$ =1, este fenómeno se ha confirmado en diversas situaciones: para $\mathbb{Z}/p^{n}\mathbb{Z}$ -torres sobre campos cuadráticos imaginarios (Cornut-Vatsal), para campos de clase Hilbert de campos cuadráticos imaginarios (Templier), y para torres de extensiones de Kummer (Darmon-Tian). Sin embargo, para variedades de mayor dimensión y ciclos de mayor codimensión, las funciones L relevantes ni siquiera se conocen bien.

Mi pregunta: ¿hay alguna razón "conceptual" por la que debería haber muchas clases de ciclos homológicamente triviales sobre extensiones del campo base? En otras palabras, si se creen ciertas conjeturas sobre las funciones L, entonces esto no es difícil de adivinar, pero estoy buscando alguna motivación que evite las funciones L.

(Editado en respuesta a un comentario de moonface).

Answer 1

Creo que la pregunta sigue estando ligeramente mal planteada; véase mi comentario anterior. (Lo siento si he metido la pata aquí, pero se me aclarará si lo he hecho, estoy seguro).

Para concretar su pregunta, habría que tomar $X$ para ser una curva elíptica, $r = 1$ , y luego $Ch(X/F)_0 = E(F)$ . Así que la pregunta es, ¿por qué $E(F)$ lograr un gran rango sobre varias extensiones. Usted discutió esto en su pregunta, pero no su discusión describe completamente la situación.

Hay trabajos de mucha gente, especialmente de Mazur y Rubin (así como de los otros que mencionan) que demuestran que los grupos Selmer crecen en algo parecido a lo esperado al ampliar $F$ adecuadamente. La razón por la que destaco a Mazur y Rubin es que trabajan en un contexto muy general, pero sólo se ocupan de los grupos Selmer. Uno espera que los grupos Mordell--Weil crezcan de la misma manera (ya que uno espera que Sha sea finito), pero esto no se sabe, y nadie sabe cómo exihibir cualquier punto en las curvas elípticas por medios teóricos, aparte de las construcciones de puntos de Heegner.

Teniendo en cuenta esto, creo que la respuesta a la pregunta de mayor codimensión será similar: nadie sabe cómo hacer ciclos (aparte de los ciclos de Heegner en ciertos contextos especiales). Si se sustituye el grupo de Chow por algún sustituto Galois-cohomológico (es decir, algún tipo de grupo de Selmer), tal vez se podría entonces decir algo. No conozco ningún trabajo de este tipo, pero es posible que exista.